Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

9. CLOWN ÉQUILIBRISTE 155
2. Montrer que ce système hamiltonien est le système d’optimalité obtenu
par la méthode de Pontryaguine appliquée àcemême problème
de stabilisation.
3. Calculer les modes propres de ce système hamiltonien.
4. Montrer que le changement de variables Z = χ, W = Pχ + λ, où
P est solution de l’équation de Riccati, conduit àunsystème dynamique
en (χ, λ) bloc-triangulaire.
5. Expliciter la factorisation du polynôme caractéristique de H obtenu
par ce changement de variable.
FEEDBACK OPTIMAL ET PLACEMENT OPTIMAL DES MODES PROPRES.
Pour que le coût optimal soit fini quelque soit la condition initiale il est
nécessaire et suffisant que tous les modes propres du système optimal (9.3)
soient à partie réelle strictement négative.
1. Déduire de cette remarque et de la factorisation précédente les valeurs
des coefficients de P nécessaires au calcul explicite de la commande
optimale v ∗ .
2. Expliciter la commande optimale v ∗ comme fonction de l’état.
3. Expliquer comment évoluent les modes propres du système optimal
en fonction du paramètre γ .
9.2. CORRIGÉ
9.2.1. LE CALCUL DES VARIATIONS COMME MOYEN DE MODÉLISA-
TION. MODÉLISATION SIMPLIFIÉE.
1. Le terme 1/2([ d dt (x +sin(ϑ))]2 +[ d dt cos(ϑ)]2 ) correspond àl’énergie
cinétique de la tête, 1/2mẋ 2 àl’énergie cinétique de la roue, cos(ϑ) à
l’énergie potentielle de la tête, ux àl’énergie potentielle modélisant
la force de pédalage.
2. Les approximations faites consistent ànégliger la partie de l’énergie
cinétique correspondant àlavitesseverticaledelatête et à approximer
sin(ϑ) par ϑ et cos(ϑ) par 1 − 1 2 ϑ2 . Ces approximations sont
raisonnables pour des mouvements dans le voisinage de la verticale
puisqu’elles ne gardent que les termes d’ordre 2 dans un développement
par rapport à ϑ.