Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

158 8. PROBLÈMES
1. En utilisant les variables z = x +ϑ et ϑ les équations du mouvement
s’écrivent
¨z + m(¨z − ¨ϑ) =−u, ¨z − ϑ = 0 .
ce systèmeseréécrit
(1 + m)ϑ − m ¨ϑ =−u, ¨z = ϑ,
puis
¨ϑ = (u + (1 + m)ϑ)/m, ¨z = ϑ,
et donc avec le changement de commande v = (u + (1 + m)ϑ)/m
z (4) = v.
On a de plus la relation intéressante ¨z = ϑ.
2. Pour déplacer Pédalvit de la position verticale arrêtée à l’abscisse 1
à la position verticale arrêtée à l’abscisse 0, on peut chercher une
trajectoire de z(t) polynômiale de degré 7. Les conditions à l’instant
0 imposent z(t) = 1+ pt 4 +qt 5 +rt 6 +st 7 . Les conditions à l’instant
1 imposent aux inconnues ( p, q, r, s) de vérifier le système linéaire :
⎛
⎜
⎝
1 1 1 1
4 5 6 7
12 20 30 42
24 60 120 210
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
p
q
r
s
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
−1
0
0
0
⎞
⎟
⎠ .
Il suffit de dériver 4 fois ce polynôme pour obtenir v, le changement
de commande donne alors la commande u.
3. Pour calculer une commande u = φ(x, ẋ,ϑ, ˙ϑ), linéaire, tel que
tous les modes propres du système commandé deviennent −1. On
commence par le calculer comme fonction de z et de ses dérivées.
Considérons le feedback v =−( fz+ gż + h ¨z + iz (3) ), les modes
propres du système deviennent les solutions de
q(λ) def
= λ 4 + iλ 3 + gλ 2 + hλ + f = 0 .
Mais on veut qu’il y ait un seul mode propre −1 il faut donc
q(λ) = (λ + 1) 4
d’où ondéduit les coefficients. On a u = mv − (1 + m)ϑ et donc
le feedback cherché estu =−m(z + 4ż + 6¨z + 4z (3) ) − (1 + m)¨z
avec z = x + ϑ. Ainsi, on a obtenu un feedback dépendant que de la
position de la tête de Pedalvit et de ses dérivées.
9.2.3. DÉPLACEMENT OPTIMAL PAR LA MÉTHODE DE PONTRYAGUINE.
On minimise :
sous la contrainte
J (v) = 1 2
∫ 1
0
z (4) = v.
v 2 (s)ds .