Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

3. FEEDBACKS LOCAUX OPTIMAUX 83
3.2. UN ALGORITHME DE RELAXATION POUR CALCULER UNE
STRATÉGIE NASH OPTIMALE
Pour résoudre (3.3) on pourra utiliser l’algorithme suivant qui n’est rien
d’autre qu’un point fixe dans l’espace des stratégies :
1. démarrer avec une stratégie s ∈ S L ,
2. choisir un joueur j,
3. calculer c js ,
4. calculer une nouvelle stratégie s j en résolvant l’équationdelaprogrammation
dynamique pour le joueur j,
5. remettre à jour la probabilité du joueur j en résolvant l’équation de
Kolmogorov avant correspondante,
6. retourner en 2) jusqu’à ce qu’il ne soit plus possible d’améliorer la
stratégie s quel que soit le joueur choisi àl’étape 2).
Par cet algorithme on obtient une suite décroissante de coûts. Les coûts sont
minorés si on fait l’hypothèse que c ≥ 0. Cette suite converge vers un coût
Nash optimal — car inaméliorable par modification d’un feedback local à
la fois.
REMARQUE 3.6. Dans cet algorithme la partie la plus difficile est le calcul
des coûts c is . En fait on ne pourra faire ce calcul que dans des cas particuliers
: lorsque le coût est de la forme c u x
= ψ(∑ i ciui ).Onferaalorsdes
x i
convolutions réitérées pour calculer les c js .