Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

146 8. PROBLÈMES
8. STRATÉGIES
On veut étudier la maintenance d’un système de production comprenant
une suite infini d’étapes. On suppose que le système n’a que deux états
possibles: soit il fonctionne (x = 1), soit il ne fonctionne pas (x = 0).
Si le système ne fonctionne pas, on considère que cela coûte 1 (manque à
gagner pour une étape). La politique de maintenance du système consiste à
décider de tester ou non le système avant chaque étape de fonctionnement.
Le prix du test (et de la remise en état éventuelle) est α. Sionnetestepasle
système (u = 0) avant une étape, il a une probabilité ɛ de tomber en panne
àlafindecetteétape (pendant l’étape correspondante il fonctionne). Si on
le teste (u = 1) et s’il ne fonctionne pas, il est remis en état pendant une
étape (il ne fonctionne donc pas pendant cette étape mais il sera en état de
marche àl’étape suivante). Si au cours du test on s’apercoit qu’il fonctionne
normalement, le système est entretenu, et on est assuré (probabilité 1) qu’il
ne tombera pas en panne àlafindel’étape du test.
Une politique stationnaire consiste àdécider, en fonction de l’état
du système àl’étape précédente, de tester ou non le système, et ceci
indépendamment du numéro de l’étape considérée.
8.1. ENONCÉ
Pour chaque politique stationnaire donnez :
1. la matrice de transition de l’état du système,
2. la ou les mesures invariantes extrêmales des chaînes de Markov correspondantes
(celles dont le support est le plus petit possible lorsqu’il
y en a plusieurs),
3. les équations de Kolmogorov donnant le coût de chacune de ces politiques,
dans le cas d’une infinité d’étapes actualisées avec un taux
λ>0,
4. les comportements asymptotiques (premier terme) de ces coûts
lorsque le taux d’actualisation tend vers 0.
Quelle est la meilleure politique, dans le cas actualisé, avec un taux
d’actualisation tendant vers 0, lorsque ɛ est petit, beaucoup plus petit que α
(on supposera également que α