Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

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4 TABLE DES MATIÈRES 4. Le problème LQG en observation incomplète 95 5. Rappels et compléments sur l’espérance conditionnelle 96 6. Rappel sur les variables aléatoires gaussiennes 97 Chapitre 7. PROPRIÉTÉS DES RÉGULATEURS LQ 99 1. Rappel sur le régulateur LQ 99 2. Placement de pôles par le régulateur LQ 100 3. Approche fréquentielle du régulateur LQ 102 4. Systèmes positifs et robustesse du régulateur LQ 106 5. Rappel sur la stabilité 110 Chapitre 8. PROBLÈMES 117 1. Une gestion de stock 117 2. Maintenance d’une automobile 121 3. Transport 126 4. Gestion de réservoir 129 5. Jeux de pile ou face 133 6. Processus de calcul 137 7. Filtrage et commande en observation incomplète 141 8. Stratégies 146 9. Clown équilibriste 149 Notations 165 Bibliographie 169 Index 173
TABLE DES MATIÈRES 5 Ce cours est une introduction à la commande optimale stochastique. On traite la commande des chaînes de Markov, àétats en nombre fini, assez en détail. La commande des systèmes linéaires à temps discret avec bruits gaussiens et critère quadratique (LQG) est également étudiémaisplus brièvement. L’étude de la robustesse des régulateurs obtenus est seulement esquissée. On veut montrer dans ce cours comment formaliser les prises de décision en avenir incertain. Le point de vue adopté est celui de la recherche opérationnelle dans les parties concernant les chaînes de Markov et celui de l’automatique dans la partie concernant le LQG. Dans les deux cas il faut choisir une commande en “feedback” sur les événements effectivement réalisés. Dans la première situation on veut minimiser un critère ayant un sens économique, par exemple, le coût de gestion d’un système de production, ou le coût de maintenance d’un atelier, ou le coût d’investissement échelonné dans le temps d’une entreprise — les variables de décision étant respectivement quand et combien produire, quand entretenir, quand et combien investir. Dans la deuxième situation le but du feedback est d’améliorer la réaction, à un ordre, du système commandé. Le critère de qualité estla forme, dans le temps, de la réponse à l’ordre donné pour une famille plus ou moins bien spécifiée de systèmes, dans le voisinage d’un système nominal. Les critères ne sont plus alors que des intermédiaires de calcul sans grand sens physique. Par contre, d’autres préoccupations apparaissent : -la stabilité en temps, -la robustesse à des perturbations. La différence entre les deux cas n’est sûrement pas aussi essentielle qu’on pourrait le croire à priori. Elle provient plus du point de vue que de la nature du phénomène. La saturation d’un amplificateur nous importe peu. Le débordement d’un grand barrage ou l’arrêt d’une centrale nucléaire nous parait un beau gâchis. Pour écrire ce cours nous avons fait des choix, nous avons exprimé un point de vue même si l’exposésembletrés objectif — définition, théorème. Il n’est pas inutile, je crois, d’avertir le lecteur des choix conscients qui ont été faits et de leurs motivations. On se place dans la situation mathématiquement la plus simple : -les chaînes de Markov àétats en nombre fini, -les systèmes linéaires gaussiens. D’autres approches sont possibles comme les diffusions stochastiques. Si ce dernier cas est trés formateur sur le plan mathématique, il noie, à notre avis, le point essentiel du débat dans un formalisme difficile, sans jamais apporter au bout du compte, jusqu’à présent, un résultat réellement nouveau. L’étude des diffusions doit venir, à notre avis, dans un second temps — pour ceux plus intéressés par les mathématiques soulevées que par la résolution pratique — lorsque ce qui est faisable et central dans les problèmes de commande a été bien identifié.
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CHAPITRE 4 PERTURBATION ET AGRÉGAT
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INDEX 175 coûts, 41 entrée borné
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