Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

118 8. PROBLÈMES
Supposons f et g bornées et que l’on puisse en déduire que V soit
bornée, démontrez que le commande solution de cette équation est optimale
(c.a.d. qu’une autre décision conduirait àuncoût supérieur).
1.1.3. QUESTION 3. On se place dans la situation de la première question.
On fait tendre vers l’infini le nombre de périodes de gestion T on aimerait
comprendre le comportement asymptotique de la fonction de la programmation
dynamique. La solution de l’équation de la programmation dynamique
admet des solutions de la forme comme −µT + W(x) pour une certaine
condition finale, où µ est un nombre réel positif. µ s’interprète comme le
coût moyen par période. On pourra numéroter les périodes par des nombres
negatifs. On numérotera 0 la dernière période.
Quelle est l’équation que doit satisfaire le couple (µ, W)?
Quelle est la condition finale qui convient?
Ce couple est-il défini de façon unique?
1.1.4. QUESTION 4. On considère qu’une période de temps a une durée h.
µ s’interprète ici comme un coût par unitédetemps.
A quel cas particulier de l’équation précédente correspond l’équation:
{
}
hµ = min inf [W(x + u − h)] − W(x) + 1, W(x − h) − W(x) + hx 2 ?
u>0
Ecrivez l’équation limite lorsque h → 0.
Résolvez explicitement cette dernière équation dans la classe des W
continues.
Vérifiez que la solution W correspondante est C 1 .
Résumez en une phrase la stratégie obtenue.
1.2. CORRIGÉ
1.2.1. QUESTION 1.
1. On veut résoudre :
∑T −1
min E [ f (X t ) + g(U t )] ,
U t
t=0,··· ,T −1 t=0
sous les contraintes dynamiques:
X t+1 = X t + U t − V t , t = 0, ··· , T − 1 .
2. La fonction de la programmation dynamique est définie par :
{ }
∑ T −1
V (t, x) = min E [ f (X s ) + g(U s )] | X t = x .
U s
s=t,··· ,T −1 s=t