Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

20 1. CHAÎNES DE MARKOV
4.2. APPLICATION AUX MATRICES STOCHASTIQUES
Une matrice stochastique M est une probabilité de transition d’une
chaîne de Markov. Elle vérifie donc :
M xy ≥ 0, ∀x, y ∈ E ,
∑
M xy = 1, ∀x ∈ E .
y∈E
PROPOSITION 4.4. Si l’on note :
•|v| ∞ = sup |v x | pour v ∈ R E ,
x∈E
•|A| ∞ = sup |Av| ∞ pour A ∈ R E×E ,
|v| ∞ ≤1
pour toute matrice stochastique M, ona|M| ∞ = 1, et donc toutes les valeurs
propres de M ont des modules inférieurs à1.
PREUVE.
|Mv| ∞ = sup | ∑
x y
M xy v y |≤(sup
y
∑
|v y |)(sup
x y
M xy ) = sup |v y | .
y
et donc |M| ∞ ≤ 1. En prenant v ′ = (1 ···1) on obtient l’égalité.
Du théorème donnant le développement de la résolvante, valide pour les
matrices générales, on déduit le corollaire suivant sur les matrices stochastiques
:
COROLLAIRE 4.5. Les nilpotents associés aux valeurs propres de module
1 d’une matrice stochastique sont nuls.
PREUVE. Soient,λ 0 une valeur propre de module 1 de M — matrice
stochastique — et λ = λ 0 α ∈ C ,α>1 ∈ R. Alors
{ }
∑ +∞
v λ λ − λ 0
x = E
λ c n+1 X n|X 0 = x ,
n=0
≤ |λ − λ 0|
|λ|
sup
x
1
|c x |
1 −| 1 | ,
λ
= sup |c x | |λ − λ 0|
x |λ|−1 ,
= sup |c x | .
x
Et donc vx λ est borné ∀λ, |λ| > 1. Or vλ est solution de l’équation de Kolmogorov
:
(M − λ)v λ + (λ − λ 0 )c = 0 ,
et donc
v λ =−(λ − λ 0 )R λ (M)c ≤ sup |c x | ,
x