Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

2. CHAÎNES DE MARKOV PERTURBÉES 63
L’étude de ces fonctionnelles revient donc àétudier la chaînedeMarkov
sur un horizon d’ordre 1/ɛ, un temps suffisamment long pour que la chaîne
lente ait une action non négligeable sur le système. On va donc étudier
le comportement asymptotique de v ɛ lorsque ɛ → 0. On a vx ɛ est borné
indépendamment de ɛ par sup c x . v ɛ satisfait l’équation de Kolmogorov
x∈E
A µ v ɛ + 1 ɛ Bvɛ + c µ = 0 , (2.3)
oùl’onanoté: A µ = A − µ et c µ = µc. MaisA µ est inversible puisque A
a toutes ses valeurs propres ≤ 0, et donc v ɛ vaut:
v ɛ = (ɛ + A −1
µ B)−1 (−ɛ A −1
µ c µ),
= −ɛ R(−ɛ)A −1
µ c µ ,
où R désigne la résolvante de A −1
µ B.Lethéorème de Kato (4.2) s’applique
et nous donne donc le développement de v ɛ en ɛ.
THÉORÈME 2.1. Le vecteur v ɛ solution de (2.3) admet le développement
suivant :
v ɛ =−PA −1
µ c µ +
+∞∑
n=1
(−ɛ) n S n A −1
µ c µ ,
où P est le projecteur spectral sur N (A −1
µ B) et S satisfait :
SA −1
µ B = A−1 µ BS = I − P .
PREUVE. OnaN (A −1
µ
B) = N (B) ≠ 0. Le théorème (4.2) donne le
résultat après avoir remarqué que le nilpotent de A −1
µ B associé àlavaleur
propre 0 est nul car sinon v ɛ ne serait pas majoréindépendamment de ɛ.
En notant v 0 =−PA −1
µ c µ et v 1 =−SA −1
µ c µ la proposition suivante caractérise
les deux premiers termes du developpement de v ɛ .
PROPOSITION 2.2. Onaledéveloppement v ɛ = v 0 + ɛv 1 + o(ɛ) où v 0 est
l’unique solution de l’un des deux systèmes équivalents suivants :
(i) A µ v 0 + Bv 1 + c µ = 0 , v 0 ∈ N (B) , v 1 ∈ A −1
µ R(B) ,
(ii)(A µ v 0 , p) + (c µ , p) = 0 , v 0 ∈ N (B) , ∀ p ∈ N (B ′ ).
1. Existence d’une solution à(i).Il suffit de vérifier que
v 0 =−PA −1
µ c µ et v 1 =−SA −1
µ c µ sont solutions. Pour cela montrons
que :
− A µ PA −1
µ c µ − BSA −1
µ c µ + c µ = 0 . (2.4)
En multipliant (2.4) par A −1
µ
il suffit alors de prouver que :
−PA −1
µ c µ − A −1
µ BSA−1 µ c µ + A −1
µ c µ = 0 .
PREUVE.
Mais par définition de S on a A −1
µ
BS = I − P d’oùlerésultat.