Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

CHAPITRE 4
PERTURBATION ET AGRÉGATION
1. INTRODUCTION ET EXEMPLES
1.1. INTRODUCTION
Dans ce chapitre on introduit de la structure sur la chaînedeMarkovde
façon à diminuer la complexitédelarésolution des équations de Kolmogorov.
On suppose que la matrice de transition M ɛ dépend d’un paramètre ɛ
et que la matrice M 0 a une structure bloc-diagonale. Si on étudie la chaîne
sur un horizon d’ordre 1 les termes en dehors des blocs diagonaux sont
négligeables et le problème se décompose en sous problèmes indépendants
de la taille de ces blocs. Par contre lorque l’ on s’intéresse à des horizons
de l’ordre de 1/ɛ, même pour obtenir les termes d’ordre 1 dans un
développement en ɛ, onnepeutplusnégliger les transitions d’ordre ɛ. Le
but de ce chapitre est d’étudier ce genre de phénomène y compris pour
les probèmes de commande optimale. On retrouve ici — dans le cadre des
chaînes de Markov — des phénomènes connus en mécanique céleste depuis
fort longtemps — Gauss s’était déjàintéréssé ausujet.
1.2. GESTION DE RÉSERVOIRS
Dans les problèmes de gestion de réservoirs ce phénomène apparaît dans
le cas de barrages ayant plusieurs constantes de temps. Par exemple un gros
stock et un petit stock en aval disposant des moyens de turbinage du même
ordre de grandeur que le gros. Une autre situation de ce type apparait si
l’on considère une gestion annuelle d’un gros réservoir face à une demande
fluctuante àl’échelle de la journée ou de la semaine.
1.3. FIABILITÉ
Dans les problèmes de fiabilité les taux de panne ne sont pas du même
ordre de grandeur que les taux de marche. De plus on s’intéresse ici au
système sur un temps long. Dans cet exemple la chaîne comporte d’ états
transitoires — situation plus compliquée que nous n’aborderons pas dans
toute sa généralité.
2. CHAÎNES DE MARKOV PERTURBÉES
Etant donné un paramètre ɛ destiné àêtre petit, on suppose que la matrice
de transition de la chaîne de markov a des probabilités de transition
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