Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

5. RAPPEL SUR LA STABILITÉ 113
5.3. CRITÈRE DE NYQUIST
Le critère de Nyquist donne une condition de stabilité, dans le domaine
fréquentiel, des systèmes linéaires stationnaires bouclés par une rétroaction
unitaire.
THÉORÈME 5.9 (Nyquist). Un système à contre réaction unitaire donc de
fonction de transfert H/(1 + H) est stable ssi l’image par H(s) (fonction
de transfert du système direct c.a.d. sans la contre réaction) du contour du
demi-plan droit du plan complexe orienté dans le sens inverse, noté C, entoure
le point −1, dans le sens direct, un nombre de fois égal au nombre de
pôles instables du système direct.
PREUVE. On note :
T (s) =
H(s)
1 + H(s)
la fonction de transfert du système bouclé. T sera stable ssi elle n’a aucun
pôle dans le demi-plan droit du plan complexe. Or
arg[1 + H(s)] C = 2π(P − Z)
oùondésigne par P le nombre de pôles de 1 + H dans le demi-plan droit,
et Z le nombre de zéros de 1 + Hdans le demi-plan droit.
Si T est stable on a
• 0estégal au nbre de pôles dans le demi-plan droit de T ,
• qui est égal nbre de zéros de 1 + H dans le demi-plan droit,
• qui est égal nbre de pôles de 1 + H dans le demi-plan droit, moins le
nbre de fois que H(C) entoure −1 dans le sens direct.
Et donc le nbre de pôles de H doit être égal au nbre de fois que H(C)
entoure −1 dans le sens direct.
On en déduit le corollaire suivant.
COROLLAIRE 5.10. Si le système direct est stable, le système bouclé est
stable ssi le lieu de Nyquist c.a.d H(C) n’entoure pas −1 dans le sens direct.
5.4. CRITÈRE DE ROUTH
Il suffit de savoir déterminer le nombre de racines à partie réelle positive d’un
polynôme pour pouvoir disposer d’un test de stabilité d’unsystème linéaire stationnaire.
C’est le critère de Routh.
Avant de donner le critère de Routh nous allons introduire des notions qui ont
un intérêt en elle même et qui servent àdémontrer la validitéducritère — l’indice
de Cauchy d’une fonction, — les suites de Sturm de polynômes. Nous suivons
l’exposé de Gantamacher [58].
DÉFINITION 5.11 (Indice de Cauchy). L’indice de Cauchy d’une fraction rationnelle
R(s) entre a et b, noté Ia b R(s),estladifférence entre le nombre de sauts de
−∞ à +∞ et le nombre de sauts de +∞ à −∞ lorsque x varie de a à b.
PROPOSITION 5.12. Si P(s) est un polynôme I b a (P′ /P) est le nombre de racines
réelles de P(s) dans l’intervalle (a,b).