Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

96 6. LE RÉGULATEUR LQG
ˆx + k =ˆx k + K o k (y k − C ˆx k ), (4.6)
où K o est le gain du filtre de Kalman associé au problème O.
PREUVE. Il suffit de reprendre la démarche utilisé dans le cas de l’observation
complète, en remplaçant les tribus X k par les tribus d’observation
Y k , pour aboutir au critère d’optimalité:
B ′ ˆp k k+1 + Ru k = 0, ˆp k k+1 = E( p k+1 | Y k ). (4.7)
Supposons par récurrence que :
ˆp k+1
k+1 = E( p k+1 | Y k+1 ) = P k+1 ˆx + k+1 ,
où P k estlasolutiondel’équation de Riccati donnant le gain K c .Grâce à
(4.7) et de (4.6) et à l’orthogonalitédey k+1 − C ˆx k+1 avec Y k on obtient :
ˆp k k+1
= E( ˆpk+1
k+1 | Yk ) = E[P k+1 ( ˆx k+1 + K o k (y k+1 − C ˆx k+1 ) | Y k ] ,
= P k+1 ˆx k+1 = P k+1 (A ˆx + k + Bu k).
On en déduit :
u k =−(R k + B ′ P k+1 B) −1 B ′ P k+1 A ˆx + k ,
qui est (4.4) si l’on se rappelle de la valeur de K c (3.8).
Par ailleurs on a :
ˆp k k = A′ ˆp k k+1 + Q ˆx + k = A ′ [P k+1 (A ˆx + k + Bu k) + Q ˆx + k ] = P k ˆx + k
en remplaçant u k par (4.4) .
EXERCICE 4.2. Montrer que le contrôleur peut être vu comme la sortie du
système dynamique suivant dont l’entrée est y et la sortie u :
ˆx + k+1 = (I − K o k+1 )(A + BKc k ) ˆx + k + K o k+1 y k+1 ,
u k+1 = K c k+1 ˆx + k+1 .
EXERCICE 4.3. Montrer le théorèmedeséparation lorsqu’il a un retard sur
l’observation en plus d’une observation incomplète c.a.d qu’à l’instant k on
ne dispose que des informations y l , l ≤ k − d,où d est un entier positif.
5. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR L’ESPÉRANCE
CONDITIONNELLE
Soit (, A, P) un espace de probabilité et(X i ) i∈I , une famille quelconque
de v.a. définies sur cet espace. On appelle tribu engendrée par cette
famille et on note B(X i , i ∈ I ), la plus petite sous-tribu de A rendant mesurable
les X i c’est-à-dire la tribu engendrée par les ensembles mesurables de
A,delaforme{X i ∈ A}, i ∈ I , A borélien de R. SiB est une sous-tribu de
A, une v.a. X est dite B-mesurable,si{X ∈ A} ∈B, pour tout borélien A.
Soit (X i ) i∈I une famille finie de v.a., une v.a. Y est B(X i , i ∈ I )-mesurable
si et seulement si il existe une fonction borélienne f sur R |I| telle que
Y = f (X 1 , X 2 ,... ,X |I| ).