Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

22 1. CHAÎNES DE MARKOV
nilpotent de A associé à la valeur propre 0 est non nul ce qui contredit le
corollaire 4.5.
EXERCICE 5.3. Démontrer que (5.1) ⇒ (5.2).
On a également un théorème ergodique qui peut être vu comme un corollaire
du théorème 4.2.
COROLLAIRE 5.4 (Théorème ergodique).
lim
m→∞
1
m [I + M + M2 + ... + M m−1 ] = P ,
où M désigne une matrice stochastique et P le projecteur spectral sur l’espace
propre associé à la valeur propre 1 de M.
PREUVE. M = ∑ i
(λ i P i + N i ) où λ i désigne les valeur propres de M,
P i les projecteurs spectraux et N i les nilpotents associés.
On a lim m→∞ (λ i P i + N i ) m = 0dès que |λ i | < 1.
D’autre part, en utilisant le fait que les nilpotents associés aux valeurs
propres de module 1 sont nuls, on obtient :
Mais
d’oùlerésultat.
1
m [I + M + ... + Mm−1 ] = ∑
⎧
m−1
1 ∑ ⎨
λ k i =
m ⎩
k=0
i,|λ i |=1
1 ∑m−1
m
k=0
1 λ m i − 1
si λ i ≠ 1,
m λ i − 1
1 siλ i = 1,
λ k i P i + ɛ.
REMARQUE 5.5. Puisque l’on a
+∞∑ λ
(1 + λ) = 1 ,
n=0
n+1
notant ν une variable aléatoire sur N, indépendante de X n ,deloidéfinie
par :
on a :
D’autre part,
P{ν = n} =
Eν =
λ
(1 + λ) n+1
v λ x = E{c X ν |X 0 = x} .
+∞∑
n=0
nλ
(1 + λ) n+1 = 1 λ .
Et donc lorsque λ → 0, Eν →∞, ce qui montre que le corollaire
(5.1) est une sorte de théorème ergodique dans lequel on a remplacé laloi