Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

108 7. PROPRIÉTÉS DES RÉGULATEURS LQ
x ′ P ∗ x ce coût. Il satisfait l’équation de la programmation dynamique
(−Ax, 2P ∗ x) + inf [(−Bu,
u 2P∗ x) + (Cx + Du, u)] = 0, ∀x ,
qui se réécrit
( ) ( )( )
inf x
′
u ′ −A ′ P ∗ − P ∗ A C ′ − P ∗ B x
u
C − B ′ P ∗ (D + D ′ = 0, ∀x ,
)/2 u
et donc
( )
−A ′ P ∗ − P ∗ A C ′ − P ∗ B
C − B ′ P ∗ (D + D ′ ≥ 0 .
)/2
• (4) ⇒ (3)
Si T se factorise en FF ♭ alors le théorème de Parseval nous
donne
∫ ∞
−∞
u ′ ydt = 1
4π
∫ ∞
−∞
u ′ ( jω)(H( jω)+ H ′ (− jω))u(− jω)dω
= 1 ∫ ∞
‖F( jω)u( jω)‖ 2 dω ≥ 0 .
2π −∞
• (2) ⇒ (4) (dans le cas mono entrée mono sortie)
H est rationnelle et s’écrit donc A(s)/B(s) alors :
A( jω)B(− jω) + B( jω)A(− jω)
R(T ( jω)) = .
2|B( jω)| 2
Le numérateur est un polynôme en les puissances paires de ω, positif
pour tout ω, donc n’a pas de racines réelles simples, et donc se
factorise sous la forme
∏
(s 2 + α k + jβ k )(s 2 + α k − jβ k ) = K (s)K (−s) ,
k
et donc
T (s) = A(s)
B(s) + A(−s) K (s)K (−s)
=
B(−s) B(s)B(−s) = F(s)F(−s) .
Dans le cas général on montrera (5) ⇒ (4) en généralisant le
lemme de factorisation appliquéà P ∗ .
Ce théorème est souvent appelé lemme positif réel.
Muni de ces caractérisations des systèmes positifs on peut énoncer un
théorème de stabilitédesystèmes nonlinéaires.
THÉORÈME 4.4 (Popov). Etant donné lesystème dynamique positif (4.1)
commandé paru = −G(y), alors quelque soit G telle que u ′ y ≤ 0le
système bouclé est asymptotiquement stable au sens de Lyapounov.