Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

9. CLOWN ÉQUILIBRISTE 149
avec ν constant, w défini à une constante prés (on peut prendre w 1 =
0).
3. L’algorithme de Howard s’adapte facilement.
1) Pour une stratégie S donnée on calcule un couple (ν, w) satisfaisant
ν = M S ν,ν+ w = M S w + c S .
2) A w on associe une nouvelle statégie par
S : k → u ∈ argmin u [M u w + c u ] k .
Sur l’exemple on obtient la suite
S 00 → ν = 1,w 0 = 1/ɛ, w 1 = 0 → S 11 → ν = α, w 0 = 1,w 1 = 0 → S 10
→ ν = (1 + α)ɛ/(1 + ɛ),w 0 = (1 + α)/(1 + ɛ),w 1 = 0 → S 10 .
9. CLOWN ÉQUILIBRISTE
9.1. ENONCÉ
Dans ce problème, on étudie la dynamique d’un clown en équilibre sur
un monocycle ainsi que ses façons de se stabiliser et de se déplacer.
Cette étude utilise les méthodes variationnelles pour construire un
modèle simplifié linéaire. Les problèmes de stabilisation et de déplacement
sont résolus, d’abord en calculant des commandes admissibles, puis optimisant
les commandes par les méthodes de Pontryaguine et par la programmation
dynamique.
Le système considéré est,biensûr, une idéalisation du problème réel.
La roue, appelée M, est supposée de rayon infinitésimal et de masse m. Le
clown a une tête massive concentrant toute sa masse — supposée égale à1
— en un point appelé P. Le corps est une barre rigide, sans masse, liant la
tête P à la roue M, de longueur 1. Le clown, justement nommé“Pédalvit”,
vit dans l’univers plan de la roue — supposée verticale — et se déplace, en
ligne droite, selon un axe orienté appelé Ox. On appelle : x l’abscisse de
M, ϑ l’angle du corps avec la verticale Oy,orienté dans le sens des aiguilles
d’une montre dans le repère (Ox, Oy).
Moyennant ces simplifications, il est possible de résoudre ce problème
assez complètement.
Dans la suite, l’accélération de la pesanteur est supposée égale à1.Le
temps est noté t ou s. On note f ˙(t) la dérivée de la fonction du temps f (t).
9.1.1. LE CALCUL DES VARIATIONS COMME MOYEN DE
MODÉLISATION. Rappelons que l’on peut déterminer la dynamique
d’un système mécanique en calculant l’extremum sur l’ensemble des
trajectoires possibles d’une “action”. Cette action est définie comme
l’intégrale, en temps le long d’une trajectoire, de l’énergie cinétique moins
l’énergie potentielle du système considéré.