Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

5. RAPPEL SUR LA STABILITÉ 115
d’oùlerésultat.
Etant donné un polynôme P(s) de degré n
P(s) = a 0 s n + b 0 s n−1 + a 1 s n−2 + b 1 s n−3 +··· ,
on définit Q et R par
P(iω) = Q(ω) + iR(ω) .
On peut alors utiliser arg(P(iω)) = arctan R(ω)/Q(ω) pour montrer
arg ∞ −∞ P(iω) = I −∞
∞ T (ω)
S(ω) ,
avec
S(ω) = a 0 ω n − a 1 ω n−2 +··· ,
T (ω) = b 0 ω n−1 − b 1 ω n−3 +··· .
Pour cela if faut discuter selon la paritéden.
On en déduit alors, en utilisant la propostion 5.16, le résultat suivant.
PROPOSITION 5.17.
I−∞
∞ T (ω)
S(ω) = n − 2k .
On peut énoncer le théorème de Routh.
THÉORÈME 5.18 (Routh). Le nombre de variations de signe en ∞, noté V (∞) de
la suite de Sturm
P 1 = S, P 2 = T , P i+1 =−reste(P i−1 , P i ),
est égal au nombre de racines de P dans le demi-plan droit, noté k
V (∞) = k .
PREUVE. On applique le théorèmedeSturmà la suite de Sturm P i dans l’intervalle
(−∞, ∞). On a donc
V (−∞) − V (∞) = n − 2k .
Mais
V (−∞) = n − V (∞) ,
car la suite des degré (P i ) est (n,... ,0) dans le cas régulier où aucun coefficient
de tête ne s’annule.
On définit le tableau de Routh construit sur P
DÉFINITION 5.19 (Tableau de Routh).
a 0 a 1 a 2 ...
b 0 b 1 b 2 ...
c 0 c 1 c 2 ...
d 0 d 1 d 2 ...
avec
.
.
c i = a i+1 − b i+1
a 0
b 0
,
d i = b i+1 − c i+1
b 0
c 0
.
.