Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

80 5. DÉCOMPOSITION
2.5. LE CASD’UN SYSTÈME OUVERT SUR L’EXTÉRIEUR
Cette nouvelle situation peut être vue comme le cas particulier de la
situation précédente dans lequel :
• une file d’attente d’indice 0 modélise l’extérieur;
• le nombre total de clients du système excède le nombre total de place
du système interne;
• le nombre de places de la file extérieure est supérieur au nombre total
de clients;
• le taux de sortie de la file extérieure est indépendant du nombre de
clients en attente dans cette file;
La loi de probabilitédusystème peut se réécrire :
qui devient :
p x = kp 1 x 1 ··· p I x I
p 0 E−x 1···−x I
avec :
et :
p x = k ′ q 1 x 1 ···q I x I
∏x i
q i x i = k i
e ′ i
u
y=1
i y
e ′ i
= ei u 0
.
e 0
Le support de la loi étant un produit cartésien — à cause des hypothèses
faites sur le nombre de clients et de places dans le système — les lois
d’équilibre sont bien indépendantes. Il est alors beaucoup plus facile de
calculer les constantes de normalisation. En résumé, dans ce cas, le système
àl’équilibre est équivalent à I files découplées avec un taux d’entrée e i′ et
un taux de service u i .
x i
3. FEEDBACKS LOCAUX OPTIMAUX
On étudie le problème de commande optimale (T , E, F, M u , c u ) dans
le cas ergodique. Il faut donc minimiser :
lim
N→∞
1
N
∑N−1
n=0
c U n
X n
= J (s).
On cherche à optimiser dans la classe des feedbacks locaux S L c.a.d.
I∏
I∏
I∏
E = E i , F = F i , S L = (F i ) E i ,
i=1
i=1
par opposition à la classe des feedbacks complets S = F E ,defaçon à
conserver la forme produit. Entre d’autres termes on commande les taux
de sortie u i , i ∈ I et on leur impose d’être des fonctions de l’état local
seul c.a.d. u i est fonction de x i et non pas du vecteur d’état complet x. En
i=1