Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

9. CLOWN ÉQUILIBRISTE 153
3. Grâce à cette forme canonique, calculer une commande 7
u = φ(z, ż, ¨z, z (3) ),
avec φ linéaire, telle que tous les modes propres, du système ainsi
commandé, soient −1.
Dans la suite, on utilisera cette forme canonique pour optimiser les déplacements
et stabiliser le systèmedefaçon optimale au sens de critères que l’on
précisera.
9.1.3. DÉPLACEMENT OPTIMAL PAR LA MÉTHODE DE PONTRYAGUINE.
En utilisant la forme canonique (9.1), on veut calculer la commande assurant
le déplacement de Pédalvit de la position verticale arrêtée, à l’abscisse
1, à la position verticale arrêtée à l’abscisse 0, en un temps T , tout en minimisant
ses efforts c.à.d. en minimisant :
∫ T
J (v) = 1 v 2 (s)ds .
2 0
Pour simplifier les calculs, on a supposé, que Pédalvit reste àpeuprès vertical
et donc que v 2 est voisin de u 2 — mesurant plus précisément son aversion
à faire des efforts.
1. En utilisant la méthode de Pontryaguine donner les conditions nécessaires
et suffisantes d’optimalité du mouvement correspondant.
2. Caractériser la commande optimale en boucle ouverte, v(t), assurant
le déplacement souhaité.
9.1.4. STABILISATION OPTIMALE PAR LA PROGRAMMATION DYNA-
MIQUE. En utilisant la forme canonique (9.1), Pédalvit veut calculer une
commande le stabilisant à l’origine de façon optimale au sens d’un critère
faisant un compromis entre ses efforts et la qualité de la stabilisation. Pour
cela, il minimise le critère
J (v) = 1 2
∫ ∞
0
[v 2 + γ z 2 ](s)ds, γ > 0 .
1. Montrer que ce critère est α-convexe sur H0 4 (0, ∞; R) sous espace
fermé des fonctions de H 4 (0, ∞; R) ayant leurs valeurs ainsi que
leur 3 premières dérivées nulles à l’origine. L’espace de Hilbert
H 4 (0, ∞; R) est l’espace des fonctions de norme finie au sens du
produit scalaire
∫ ( )
∞ ∑ 4
( f, g) = f (i) g (i) (t)dt .
0
i=0
De ce résultat découle que l’optimum existe et est unique.
7 Lorsque la commande dépend de l’état on dit qu’elle est en boucle fermé ou en en
“feedback”.