Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

160 8. PROBLÈMES
mais on a
∫ ∞
0
| ¨ f | 2 (t)dt =
∫ +∞
0
[ ff (4) ](t)dt .
Mais par l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a :
{
∫ +∞
0
De même on a :
[ ff (4) ](t)dt} 2 ≤‖f ‖ 2 L 2 ‖ f (4) ‖ 2 L 2 ≤ k(J ( f )) 2 .
∫ +∞
0
| ˙ f | 2 (t)dt =−
∫ +∞
0
[ f ¨ f ](t)dt .
D’où la deuxième majoration en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Le même genre de raisonnement pour la troisième estimation
montre le résultat.
2. Soit la fonction w(z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ) solution de l’équation de la programmation
dynamique
∂w
∂z 0
z 1 + ∂w
∂z 1
z 2 + ∂w
∂z 2
z 3 − 1 2
( ∂w
∂z 3
) 2
+ γ 2 z2 0 = 0 ,
w(0, 0, 0, 0) = 0 ,
et soit v une commande admissible, c.à.d. telle que z ∈
H (4) (0, ∞; R), on a alors
d
∂w
w(Z(t)) = [ ż + ∂w ¨z + ∂w z (3) + ∂w v](t)
dt ∂z 0 ∂z 1 ∂z 2 ∂z 3
≥− 1 2 (v2 + γ z 2 )(t) .
Cette dernière inégalité provientdel’équation dynamique en se rappellant
que
− 1 ( ) 2 ∂w
≤ ∂w v + v2
2 ∂z 3 ∂z 3 2 .
On obtient alors :
∫ ∞
1
w(Z(∞)) − w(Z(0)) ≥−
0 2 (v2 + γ z 2 )(t)dt .
Et donc w(Z(0)) ≤ ∫ ∞ 1
0 2 (v2 + γ z 2 )(t)dt puisque la trajectoire Z
est nulle à l’infini. Si on avait pris pour v la commande optimale on
aurait obtenu une égalité.
Enfin si Z(0) = (0, 0, 0, 0) la commande v = 0 conduit àun
coût nul et donc w(0, 0, 0, 0) = 0.
EQUATION DE RICCATI ALGÉBRIQUE.
1. On cherche une solution de la forme w(ζ) = (1/2)ζ ′ Pζ. La matrice
P doit vérifier alors l’équation de Riccati algébrique :
A ′ P + PA− PB ′ BP + γ C ′ C = 0 ,