Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

7. FILTRAGE ET COMMANDE EN OBSERVATION INCOMPLÈTE 143
dans l’ensemble d’états
{(1, p 1 ), (1, p 2 )}
et vaut 2 si la chaîne est dans l’ensemble
{(2, p 1 ), (2, p 2 )} .
La matrice de transition de sauter d’un état dans un autre et d’observer
1 vaut
⎛
⎞
1 − p 1 0 0 0
M 1 = ⎜ p 1 0 0 0
⎟
⎝ 0 0 1− p 2 0 ⎠ ,
0 0 p 2 0
celle d’observer 2 vaut
⎛
M 2 =
⎜
⎝
⎞
0 p 1 0 0
0 1− p 1 0 0
⎟
0 0 0 p 2 ⎠ .
0 0 0 1− p 2
On vérifie que M 1 + M 2 est une matrice stochastique.
2. La loi initiale q 0 est donnée par la matrice
( )
1/2 0 1/2 0
q 0 =
,
0 0 0 0
oùlapremière ligne correspond à l’observation y = 1 et la deuxième
à y = 2.
Pour obtenir la probabilité conditionnelle (notée q 3 ) que p = p 1
ou p = p 2 aprés les observations (1,2,1,1) il faut faire les produits
matricielles
q 01 M 2 M 1 M 1
et renormaliser le résultat pour en faire une probabilitésoit
q 3 = 1 ( ( p 1 ) 2 (1 − p 1 ) 0 ( p 2 ) 2 (1 − p 2 ) 0 ) ,
c
avec c = ( p 1 ) 2 (1 − p 1 ) + ( p 2 ) 2 (1 − p 2 ) et donc la probabilité pour
que p = p 1 est la probabilité pour que la chaîne étendu soit dans un
des 2 premiers états c.a.d.
( p 1 ) 2 (1 − p 1 )/c .
3. Les formules précédentes se généralisent au k changements d’états
pour N observations. La probabilité conditionnelle pour que p = p 1
vaut
( p 1 ) k (1 − p 1 ) N−k
( p 1 ) k (1 − p 1 ) N−k + ( p 2 ) k (1 − p 2 ) N−k .
On appellera α N cette probabilité.