Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

152 8. PROBLÈMES
9.1.2. LA COMMANDE NON OPTIMALE. STABILITÉ DU MOUVEMENT.
On appelle mode propre du système les nombres complexes λ i tels qu’il
existe (x i (t), ϑ i )(t) polynômes en t avec
X i (t) def
= (x i (t), ϑ i (t))e λ it
solution du mouvement.
Toutes les solutions du mouvement étant des combinaisons linéaires de
quatre de ces solutions particulières indépendantes, il est clair que, si tous
les modes ont des parties réelles strictement négatives, toutes les composantes
du mouvement convergent vers 0 — lorsque t tend vers l’infini — avec
une vitesse exponentielle. On dira alors que le mouvement est exponentiellement
stable. Si un des modes a une partie réelle strictement positive, on
dira que le système est exponentiellement instable.
Si tous les modes sont imaginaires et les polynômes correspondants sont
des constantes, on dira que le mouvement est purement oscillant.
On considère des commandes de la forme u = cx + dϑ.
1. Donner un système d’équations caractérisant les modes propres (on
se placera dans le cas de 4 modes propres distincts (les polynômes
x i (t) et ϑ i (t) sont alors des constantes)).
2. Montrer que, quelque soient c et d, le mouvement correspondant est,
soit exponentiellement instable, soit purement oscillant.
Bien qu’ayant compris comment ne pas tomber en obtenant un régime purement
oscillant, Pédalvit aimerait pouvoir amortir les oscillations. Pour cela,
il est donc obligé d’adapter sa force de pédalage non seulement à x et ϑ
mais aussi à ẋ et ˙ϑ.
FORMES CANONIQUES ET APPLICATIONS. Le système commandé
peut se mettre sous une forme canonique, dite de Brunowski , grâce àlaquelle
il est facile de stabiliser le systèmeoudedéterminer une commande
transférant le système d’un point à un autre dans l’espace d’état.
1. Montrer, par un changement de commande — défini par u = f (v, y)
où y = (x, ẋ,ϑ, ˙ϑ)désigne le vecteur d’état du système et v la nouvelle
commande — que l’on peut ramener les équations du mouvement
à:
z (4) = v, (9.1)
où z désigne l’abscisse de la tête P de Pédalvit. On explicitera le
changement de commande utilisé.
2. Grâce à cette forme canonique, caractériser une commande 6 u(t) assurant
le déplacement de Pédalvit de la position verticale arrêtée à
l’abscisse 1, à l’instant 0, à la position verticale arrêtée à l’abscisse
0, à l’instant 1.
6 Lorsque la commande u ne dépend que du temps on dit que la commande est en
boucle ouverte.