Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

144 8. PROBLÈMES
4. Si p = p 1 d’aprés la loi des grands nombres on a
lim k/N = p 1
N
presque sûrement.
On peut réécrire α N sous la forme
1
[ ] N
.
1 + (p 2 ) k/N (1−p 2 ) (N−k)/N
(p 1 ) k/N (1−p 1 ) (N−k)/N
Mais
( p 2 ) k/N (1 − p 2 ) (N−k)/N
( p 1 ) k/N (1 − p 1 ) (N−k)/N
et presque sûrement aussi voisin de
( p 2 ) p1 (1 − p 2 ) p1
( p 1 ) p1 (1 − p 1 ) 1−p1
qu’on le veut.
La fonction
p ↦→ p p′ (1 − p) 1−p′
atteint son maximum au même point que la fonction
p ↦→ p ′ log( p) + (1 − p ′ ) log(1 − p)
qui est concave. Le maximum est atteint pour p = p ′ et donc
[ ( p 2 ) k/N (1 − p 2 ) (N−k)/N
tend vers 0 presque sûrement.
( p 1 ) k/N (1 − p 1 ) (N−k)/N ] N
7.2.2. MAINTENANCE.
1. L’espace d’états est E = {1, 2} où x = 1 correspond àl’état de
fonctionnement et x = 2àl’état de panne.
L’espace des commandes est F ={1, 2} où la commande u = 1
correspond àladécision de ne pas tester et u = 2àladécision de
tester.
L’espace des observations est G ={0, 1, 2} où y = 0 correspond
à l’absence d’observation, y = 1 correspond à l’observation d’un
état de panne, y = 2 correspond à l’observation de l’état de marche.
Si on note par M uy les 6 matrices de transition on a
( ( ( )
1 − p p
0 0
0 0
M 10 =
0 1
(
0 0
M 20 =
0 0
On vérifie que
)
, M 11 =
)
, M 21 =
∑
x ′ ,y
(
0 0
1 0
)
, M 12 =
0 0
)
, M 22 =
M uy
xx ′ = 1, ∀x, u .
0 0
(
1 − p p
0 0
)
,
.