Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

6. PROPRIÉTÉS COMBINATOIRES 23
uniforme sur [0, m − 1] par une loi exponentielle et le passage à la limite
sur m par un passage à la limite sur le taux de l’ exponentielle.
EXERCICE 5.6. Vérifier la formule : Eν = 1 . λ
6. PROPRIÉTÉS COMBINATOIRES
Etant donnée une chaîne de Markov de matrice de transition M, onlui
associe l’application :
Ɣ : E → P(E),
x → Ɣ(x) ={y ∈ E : M xy > 0 }
c.a.d l’application qui à un noeud du graphe (associéàlachaîne de Markov)
fait correspondre l’ensemble des noeuds accessibles par une transition de
probabilité non nulle.
Un chemin de longueur n allant de x 0 à x n ∈ E sera la donnée de
x 0 ···x n avec x k ∈ Ɣ(x k−1 ). Un circuit sera un chemin revenant à son point
de départ. Les noeuds sont vus comme des chemins de longueur zéro. On
définit alors :
• la relation d’équivalence :
x ∼ y ⇔ x et y appartiennent àunmême circuit ;
• le préordre
x > y ⇔∃un chemin de longueur quelconque allant de x à y .
Par passage au quotient, ce préordre définit une relation d’ordre sur les classes
d’équivalences. On a alors les définitions :
• une classe d’équivalence est dite finale si elle est minimale pour la
relation d’ordre entre les classes,
• une classe non finale est dite transitoire,
• un ensemble A ∈ E est dit clos s’il n’existe pas d’arc ayant son
origine dans A et son extrémitédans∁ A ,
• une chaîne de Markov ayant une seule classe est dite irréductible.
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1
6
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FIGURE 4. Exemple de chaîne de Markov
EXEMPLE 6.1. La chaîne de la figure 4 a 2 classes transitoires (1,2) (5) et
2 classes finales (3,4) (6,7). La sous chaîne (6,7) est irréductible.