Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

4. SYSTÈMES POSITIFS ET ROBUSTESSE DU RÉGULATEUR LQ 109
PREUVE. Ondémontre ici que la stabilité au sens de Lyapounov. On
utilise le théorème de Lyapounov avec la fonction de Lyapounov V = x ′ Px
où P satisfait le lemme positif réel
˙V = x ′ Pẋ +ẋ ′ Px ,
= x ′ P(Ax + Bu) + (u ′ B ′ + x ′ A ′ )Px ,
=−x ′ Qx + x ′ (C ′ − S)u + u ′ (C − S ′ )x ,
≤−x ′ Qx − x ′ Su − u ′ S ′ x − u ′ Ru puisque y ′ u ≤ 0 ,
≤ 0 (par le lemme positif réel) .
COROLLAIRE 4.5 (Critère du cercle). Dans le cas mono-entrée monosortie,
si la fonction de transfert [L +KH(s)]/[l+kH(s)] est positive réelle
pour k, l, K, L réels positifs k ′ ou k différents de zero k/l ≤ K/L réels
positifs alors le système nonlinéaire obtenu par un bouclage nonlinéaire
y ↦→ u vérifiant (lu + ky)(Lu + Ky) ≤ 0 est asymptotiquement stable au
sens de Lyapounov.
PREUVE. Lesystème entrée sortie v ↦→ z défini par
v = lu + ky, z = Lu + Ky ,
a pour fonction de transfert [L + KH(s)]/[l + kH(s)] siH désigne la
fonction de transfert u ↦→ y. D’autre part vz ≤ 0 correspond à (lu +
ky)(Lu + Ky) ≤ 0. On est donc ramené authéorème de Popov pour le
système v ↦→ z.
REMARQUE 4.6. Il suffit de remarquer que la zone du plan complexe
où R[(1 + KZ)(1 + kZ)] ≥ 0estl’extérieur du cercle C de diamètre
(−1/k, −1/K ) pour comprendre que le critère du cercle dit que “si le
lieu de Nyquist d’un système stable en boucle ouverte laisse sur sa gauche
le cercle C, lesystème en boucle fermé obtenu par le feedback statique
u = (y) est stable pourvu que le graphe de soit àl’intérieur du secteur
défini par u =−cy, k ≤ c ≤ K .”
EXERCICE 4.7. On considère un système dont l’actuateur réalisant physiquement
la commande peut “saturer” (c.a.d. ne peut pas dépasser une valeur
donnée). Ce système est commandé par une commande proportionnelle
(dans la zone de non saturation). Il est stable en boucle ouverte. Donnez une
condition sur le lieu de Nyquist de sa fonction de transfert en boucle ouverte
pour que le système en boucle fermé reste stable.
PROPOSITION 4.8. Si l’on appelle H(s) def
= ˆB ′ P(s − A) −1 ˆB avec ˆB =
BR −1/2 la fonction de transfert du système optimal (A, B, I, Q, R) 8 , supposé
commandable, le transfert H/(1 + H/2) qui correspond au système
bouclé S = (A − ˆB ˆB ′ P/2, ˆB, ˆB ′ P) est positif.
8 Système (A, B, I) optimiséausensducritère (Q, R)).