Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

156 8. PROBLÈMES
COERCIVITÉ DEL’ACTION. Les preuves des deux estimations 89 données
se font facilement bien qu’elle ne soient pas demandées.
1. L’application X ∈ H 1 (0, T ; R 2 ) ↦→ A s (X) ∈ R est α-convexe pour
T trop grand. En effet, de l’égalité 2ab = a 2 + b 2 − (a − b) 2 on
déduit :
A s (λX 1 + (1 − λ)X 2 ) = λA s (X 1 ) + (1 − λ)A s (X 2 )
− λ(1 − λ)Q(X 1 − X 2 ),
où Q désigne la partie quadratique de A s . Il faut alors montrer la
minoration
Q(X 1 − X 2 ) ≥ α‖X 1 − X 2 ‖ H 1
pour pouvoir conclure. On utilise alors (a+b) 2 +a 2 ≥ 1/4(a 2 +b 2 ) et
l’inégalité: ‖x‖ L 2 ≤ T ‖ẋ‖ L 2 pour x ∈ H 1 (0, T ; R) avec x(0) = 0,
pour montrer qu’il existe k > 0 tel que :
Q(X) ≥ k
∫ T
0
(x 2 + ϑ 2 + (ẋ) 2 + ( ˙ϑ) 2 )(t)dt .
2. La suite de fonctions X n (t) telles ϑ n (t) = 0et
⎧
t/n si 0 ≤ t ≤ n ,
⎪⎨
1 si n ≤ t ≤ 2n ,
x n (t) =
1 − (t − 2n)/n si 2n ≤ t ≤ 3n ,
⎪⎩
0 si t ≥ 3n ,
vérifie lim n ‖X n ‖ H 1 (0,∞) = +∞, lim n Q(X n ) = 0. Elle appartient
clairement à H0 1(0, ∞; R2 ).
3. Le problème de la moindre action, dans cet exemple, et pour T
fini,et X (0) = 0seramène à minimiser une fonction α-convexe sur
H0 1(0, T ; R2 ) qui est un ensemble convexe fermé (grâce au fait que
l’application qui à X ∈ H 1 ↦→ X (0) ∈ R 2 est continue) non vide. Il
existe donc un minimum unique.
8 Preuve de | f (t 2 ) − f (t 1 )|≤ √ |t 2 − t 1 |‖ f ‖ H 1 . On a :
( f (t 2 ) − f (t 1 )) 2 =
(∫ t2
t 1
˙ f (s)ds) 2
≤|t 2 − t 1 |
∫ t2
t 1
( ˙ f (s)) 2 ds ≤|t 2 − t 1 |‖ f ‖ 2 H 1 .
9 Preuve de | f | ∞ ≤ ( √ T + √ 1/T)‖ f ‖ H 1 .
( ∫ T
2 ( ∫ T
2
f (t) − 1/T f (s)ds)
= 1/T ( f (t) − f (s))ds)
≤ 1/T
0
0
∫ T
≤ 1/T |t − s|‖ f ˙‖ 2 L
ds ≤|T |‖ f ˙‖ 2 2 L
. 2
D’autre part, on a
( ∫ T
2
1/T f (s)ds)
≤ 1/T
0
L’inégalité triangulaire donne alors le résultat.
0
∫ T
0
( f (s)) 2 ds .
∫ T
0
[ f (t) − f (s)] 2 ds