Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

92 6. LE RÉGULATEUR LQG
ou encore u k est Y k−1 (u) mesurable pour tout k. Cette différence avec (2.2)
ne modifie pas la structure du problème.
2.3. LE CRITÈRE
On cherche à minimiser pour u ∈ U ad ,lecritère quadratique :
{ }
J (u) = 1 T −1
2 E ∑
x ′ k Qx k + u ′ k Ru k + x ′ T Q T x T
k=0
(2.5)
où la matrice Q est semi-définie positive et la matrice R est définie positive.
On peut faire dépendre les matrices Q et R du temps. L’horizon T pourra
être infini auquel cas la matrice Q T sera nulle.
Rappelons que le produit scalaire d’un espace H k est défini par
〈x, y〉 =E(x ′ y),
de telle sorte que le critère J (u) alaforme,
{ }
J (u) = 1 ∑ T −1
〈x k , Qx k 〉+〈u k , Ru k 〉+〈x T , Q T x T 〉 . (2.6)
2
k=0
La situation est donc classique : “étant donné unsystème linéaire sur un
espace de Hilbert, minimiser un critère quadratique sur un ensemble de
contrôle formant lui-même un espace de Hilbert”. On va donc écrire les
conditions d’optimalité (principe du minimum de Pontryagin). Et il s’agira
d’interpréter de façon probabiliste ce principe du minimum.
On résoudra ce problème en deux étapes. Dans la première étape on se
placera en observation complète c.a.d. que l’on supposera que y k = x k pour
tout k ≥ 0. Dans la deuxième étape on prouvera le théorème de séparation
montrant que la commande optimale, pour le problème en observation incomplète,
est égal au feedback optimal obtenu dans le cas de l’observation
complète appliqué au meilleur estimé del’état (au lieu d’être appliqué à
l’état lui même qui n’est pas accessible dans cette situation).
3. LE RÉGULATEUR LQG EN OBSERVATION COMPLÈTE
On suppose dans ce paragraphe que y k = x k pour tout k ≥ 0.
LEMME 3.1. Le critère J (u) est α-convexe sur U ad ,dedérivée :
∑T −1
〈J ′ (u), v − u〉 = 〈B ′ p k+1 (u) + Ru k ,v k − u k 〉 (3.1)
k=0
où p k est solution du système adjoint,
p k (u) = A ′ p k+1 (u) + Qx k (u), p T (u) = Q T x T (u). (3.2)