Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

140 8. PROBLÈMES
où ν est un temps d’arrêt que l’on optimise (chaque fois que la chaîne
passe dans l’état 1 on peut décider de s’arrêter et de payer U s (si
l’instant correspondant est s) ou de continuer).
3. On peut écrire l’équation de la programmation dynamique en utilisant
l’algèbre min-plus sous la forme:
X t = A ⊗ X t−1 ⊕ B ⊗ U t ,
Y t = C ⊗ X t−1 .
avec
A =
⎛
⎝ +∞ 2 1
+∞ 1 0
0 +∞ +∞
⎞
⎠ B =
⎛
⎝ 0
+∞
+∞
C = ( +∞ 0 +∞ ) .
⎞
⎠ X 0 =
⎛
⎝ 0 0
0
4. Lorsque U 0 =+∞on a X t = A ⊗t X 0 puisque B⊗U t =+∞puisque
les U t sont croissants.
⎛
A 3 = ⎝ 2 3 2
⎞ ⎛
1 2 1 ⎠ , A 5 = ⎝ 3 4 3
⎞
2 3 2 ⎠ .
1 3 2
2 4 3
On constate que A 5 = 1 ⊗ A 3 .
5. Pour tout n ≥ 3onaA n+2 = 1 ⊗ A n . Physiquement cette périodicité
correspond à un remplissage du pipeline de calcul. Une fois ce pipeline
rempli, le processeur va à la vitesse du multiplieur qui est la
ressource la plus lente du système.
6. Le système récurrent initial s’écrit dans l’algèbre min-plus
X 1 t = U t ⊕ 2 ⊗ X 2 t−1 ⊕ 1 ⊗ X 1 t−2 ,
X 2 t
= X 1 t−2 ⊕ 1 ⊗ X 2 t−1 ,
Y t = X 2 t−1 .
7. En multipliant par δ t et en sommant en t on obtient le système
̂X 1 = Û ⊕ 2 ⊗ δ ⊗ ̂X 2 ⊕ 1 ⊗ δ 2 ⊗ ̂X 1 ,
̂X 2 = δ 2 ⊗ ̂X 1 ⊕ 1 ⊗ δ ⊗ ̂X 2 ,
Ŷ = δ ⊗ ̂X 2 .
En utilisant le fait que a ∗ b est solution de X = a ⊗ X ⊕ b on peut
éliminer successivement ̂X 2 puis ̂X 1 . On obtient alors (l’opérateur ⊗
des séries 5 ne sera plus noté danslasuite)Ŷ = Ĥ(δ)Û , avec
Ĥ(δ) = δ(1δ 2 ⊕ 2δ(1δ) ∗ δ 2 ) ∗ (1δ) ∗ δ 2 ,
= δ 3 (1δ) ∗ (1δ 2 ) ∗ .
⎞
⎠
5 défini par Ŝ ⊗ ̂T = ⊕ t [⊕ s S s ⊗ T t−s ]δ t .