Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

116 7. PROPRIÉTÉS DES RÉGULATEURS LQ
Le tableau de Routh est dit régulier lorsque les coefficients d’indice 0 ne s’annulent
pas au cours de la construction du tableau.
On a alors le résultat le plus important de ce paragraphe.
COROLLAIRE 5.20 (Critère de Routh). Dans le cas régulier, le nombre de changements
de signe de la première colonne du tableau de Routh construit sur le
polyôme P est égal au nombre de racines dans le demi-plan droit de P.
PREUVE. Il suffit de remarquer que les signes de la première colonne du tableau
de Routh donnent les signes des polynômes de la suite de Sturm construite
sur P en ∞, puisque — la construction du tableau de Routh revient à calculer
la suite de Sturm (5.18), — les coefficients d’indice 0 sont les coefficients des
monômes de plus haut degré .
1. Le tableau de Routh de P(s) = (s−1) 3 = s 3 −3s 2 +3s−1
s’écrit
1 3
−3 −1
8/3
−1
La première colonne présente trois changements de signe, ce qui est le
résultat souhaité puisque P a trois fois la racine 1 qui est dans le demi-plan
droit.
2. Le tableau de Routh de P(s) = (s + 1) 3 = s 3 + 3s 2 + 3s + 1s’écrit
1 3
3 1
8/3
1
La première colonne n’a pas de changements de signe. P n’a pas de racines
dans le demi-plan droit.
EXEMPLE 5.21.