Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

76 5. DÉCOMPOSITION
On vérifie que
x 1
p x 1 x 2 = k ∏
1
∏x 2
1
u
y=1
1 y u
y=1
2 y
convient.
Si on limite la capacité E i de chaque file à une valeur inférieure àla
capacité totale du système E. Leséquations (2.2) deviennent :
• (2.2.1) est inchangée,
• (2.2.2) devient (2.2.2’) :
( p E−E 2 ,E 2)u2 E 2 = ( p E−E 2 +1,E 2 −1)u 1 E−E 2 +1 ,
• une équation analogue pour (2.2.3)
et donc la mesure invariante solution de ce nouveau système est du type
(2.5) avec une autre constante de normalisation k.
On constate à postériori que l’équation (2.2.1) se découpe en deux
équations d’équilibre donnant des informations plus précises :
{
px 1 x 2u1 = p
x 1 x 1 −1,x 2 +1u 2 x 2 +1
p x 1 x 2u2 = p
x 2 x 1 +1,x 2 −1u 1 (2.3)
x 1 +1
On remarque de plus dans ce cas particulier que (2.3.1) et (2.3.2) sont en
fait la même équation mais appliquée à des endroits différents de l’espace
d’état. Elles se réécrivent :
p x 1 x 2
p x 1 −1,x 2 +1
= u2 x 2 +1
u 1 x 1 ,
,
x 2 u 1 x 1 u 2 x 2 +1
Ce sont des équations d’équilibre associées aux transitions joignant seulex
1
FIGURE 4. L’espace d’état pour le système à2files.
ment deux points de l’espace d’état.
Cet exemple est encore trop simple pour nous éclairer complètement sur
le cas général puisque l’état est ici en fait de dimension 1.