Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

85
CHAPITRE 6
LE RÉGULATEUR LQG
1. LE FILTREDEKALMAN
On se donne le système récurrent stochastique :
{
xk+1 = Ax k + w k , x 0 = ξ,
(1.1)
y k = Cx k + v k ,
Ou on suppose que
1. x k (resp. y k ) sont de dimension n (resp. p),
2. les v.a. ξ, w k et v k sont indépendantes gaussiennnes,
3. ξ est de moyenne m 0 et de variance P 0 ,
4. w k (resp. v k ) sont centrées, de variance M (resp. N).
Les w (resp. les v) correspondent au bruit sur l’état (resp. l’observation). On
peut faire dépendre les matrices A, C, M, N du temps k si c’est nécessaire.
On se pose le problème dit du “filtrage”, consistant à trouver le meilleur
estimédel’état x k connaissant les observations y 0 , ··· , y k .
On sait que ce meilleur estimé ausensL 2 (moindres carrés), est donné
par l’espérance conditionnelle E(x k | Y k ),où Y k est la tribu engendrée par
(y 0 , ··· , y k ). Le filtre de Kalman donne une forme récursive, en temps, au
calcul de ces espérances conditionnelles.
1.1. CALCUL DU FILTRE
Notons :
1. le prédicteur de x k à un pas en temps ˆx k = E(x k | Y k−1 ),
2. la variance de l’erreur de prévision k = var(x k −ˆx k ),
3. l’état filtré ˆx + k = E(x k | Y k ),
4. la variance de l’erreur de filtrage + k = var(x k −ˆx + k ).
THÉORÈME 1.1. Ces quantités évoluent selon les équations :
ˆx + k =ˆx k + K k (y k − C ˆx k ), ˆx k+1 = A ˆx + k , ˆx 0 = m 0 ,
le gain du filtre K k ,étant donnépar:
K k = k C ′ (C k C ′ + N) −1 ,
+ k = (1 − K k C) k , k+1 = A + k A′ + M, 0 = P 0 .
REMARQUE 1.2. L’état initial de (1.1) et les bruits, étant gaussiens, le
système étant linéaire, les états x k et les observations y k sont eux-mêmes
gaussiens. Le prédicteur à un pas et le meilleur estimé sont aussi gaussiens.