Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

CHAPITRE 8
PROBLÈMES
1. UNE GESTION DE STOCK
1.1. ENONCÉ
On considère la gestion, en temps discret, d’un stock d’un produit soumis
à des demandes aléatoires notées v t (indépendantes et de mêmes lois)
P(dv) où t représente la période de temps considérée.
L’état du stock est noté X t il représente respectivement : — la quantité
en stock si X t ≥ 0, — moins la demande cumulée non satisfaite si X t < 0
(appelée défaillance d’approvisionnement).
Le stock est alimenté par des commandes du produit faites éventuellement
à chaque période de temps. La quantité commandée faite au début
d’une période t est reçue avant la fin de cette période. Elle est notée U t ≥ 0.
On considère deux coûts associés au fonctionnement du système sur une
période de temps
1. le coût de stockage et de défaillance noté f (x)
(a) lorsque x ≥ 0, f (x) est interprété comme le coût de stockage
de la quantité x,
(b) lorsque x < 0, f (x) est interprété comme le coût de defaillance
d’approvisionnement de niveau −x;
2. le coût de commande noté g(u) (défini sur u ≥ 0) est supposé
concave croissant nul en 0.
1.1.1. QUESTION 1. Formulez le problèmedegestionprécédent sur T périodes
de temps en terme de commande optimale stochastique.
Définissez la fonction de la programmation dynamique associée.
Donnez l’équation récurrente en temps satisfaite par cette fonction
(équation de la programmation dynamique).
1.1.2. QUESTION 2. On considère l’équation suivante :
{∫
}
(1 + λ)V (x) = min V (x + u − v)P(dv) + g(u) + f (x) ,
u≥0 v
où λ désigne un nombre strictement positif. De quel problèmedecontrôle
stochastique cette équation est elle l’équation de la programmation dynamique?
Expliquez la méthode de gestion du stock déduite de la résolution de
cette équation.
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