Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

5. RAPPEL SUR LA STABILITÉ 111
DÉFINITION 5.3 (ES). Nous dirons qu’un systéme dynamique est exponentiellement
stable si
∀t 0 , ∃k, c, R > 0:‖x(t 0 )‖ < R ⇒‖x(t)‖ ≤ke −c(t−τ) ‖x(τ)‖, ∀t >τ≥ t 0 .
La condition indique que le système retourne à 0 avec une vitesse exponentielle.
DÉFINITION 5.4 (EBSB). Nous dirons qu’un systéme entrée sortie
y(.) = S(u(.))
est stable au sens entrée bornée sortie bornée si
∀t 0 ,ɛ, ∃η : ‖u(t)‖ t 0 ⇒‖x(t)‖ ≤ɛ, ∀t > t 0 . (5.3)
5.2. MÉTHODE DE LYAPOUNOV
Elle consiste à trouver une fonction qui mesure la “distance” à l’origine
que l’on appelle fonction de Lyapounov, qui décroit le long de la trajectoire
du système . Cette “distance” doit vérifier un certain nombre de propriétés.
Pour cela on introduit quelques définitions.
DÉFINITION 5.5 (classe K). Une fonction g de R + dans R + est dite de
classe K, ce qui est noté g ∈ K ,sig est continue, strictement croissante
et vérifie g(0) = 0.
DÉFINITION 5.6. Pour une fonction V d’un espace normé dansR + et g ∈
K on dit que :
1. V est définie positive si g(‖x‖) ≤ V (x), et V (0) = 0.
2. V est K-majorée si V (x) ≤ g(‖x‖).
3. V est radialement non bornée si g(‖x‖) ≤ V (x) et lim y→∞ g(y) =
∞.
Etant donnée une fonction V (x, t) définie positive, K-majorée, radialement
non bornée de R n × R + ↦→ R + on définit:
W(x, t) = ( ∂V + f.∇V )(x, t).
∂t
On a alors :
dV
(x(t), t) = W(x(t), t).
dt
Le résultat s’énonce :
THÉORÈME 5.7 (Lyapounov). Avec W défini par (5.2), pour que le
systéme (5.1) soit
1. stable au sens de Lyapounov il suffit que:
∀x, t W(x, t) ≤ 0 ;
2. asymptotiquement stable au sens de Lyapounov il suffit que:
∀x, t W(x, t) ≤−γ(‖x‖) .
pour γ ∈ K .