Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

122 8. PROBLÈMES
suppose être capable d’observer). On remplace alors la voiture instantanément
et on recommence avec cette dernière, supposée avoir le même taux
de dégradation que la voiture précédente. On qualifie de naïve cette politique
de maintenance. Dans la deuxième partie on améliore cette politique
en allant éventuellement plus tôt chez le garagiste.
On considère les coûts suivants :
1. un coût c x associé au mauvais fonctionnement de la voiture, dépendant
de son niveau de dégradation x, que l’on paie tous les jours;
2. un coût de réparation k x qui est la somme d’un coût fixe et d’un coût
dépendant du niveau de dégradation du véhicule (ce coût est payé
chaque fois que l’on a recours au service d’un garagiste; lorsqu’on
va chez le garagiste on néglige le coût de mauvais fonctionnement
du véhicule devant celui de réparation).
2.1.2. ETUDE DE LA CHAÎNE DE MARKOV ASSOCIÉE À LA POLITIQUE
NAÏVE.
1. Donnez la matrice de transition de la chaîne de Markov représentant
l’évolution de l’état la voiture sans politique de maintenance puis
avec la politique de maintenance naïve. On appelle M cette dernière
matrice. Dans la suite de ce paragraphe on est toujours dans cette
situation.
2. Calculez explicitement la probabilité p n x d’être dans l’état x àl’instant
n. A l’instant 0 la voiture est supposée neuve donc dans l’état 0
avec une probabilité1.
3. Montrez que p n converge vers une unique mesure d’équilibre que
l’on déterminera.
4. Déduisez des questions précédentes la formule :
1/E = lim
n→∞
∑
k=0
[n−l/E]
C (kE+l)
n λ kE+l (1 − λ) n−kE−l
pour l = 0, 1, ··· , E − 1où Cm l désigne le nombre de combinaisons
de l éléments parmi m et [a] la partie entière de a.
2.1.3. OPTIMISATION DE LA POLITIQUE DE MAINTENANCE.
1. Formulez en terme de commande optimale stochastique le problème
d’entretien optimal dans le cas d’un horizon infini avec un taux
d’actualisation µ.
2. Donnez explicitement (le système d’équations scalaires) l’équation
de la programmation dynamique àrésoudre permettant de calculer la
politique d’entretien optimale.
3. Donnez un algorithme de résolution de ce système d’équations.
4. Dans le cas c x = x, k x = m ramenezlarésolution de l’équation de
la programmation dynamique à un problème d’optimisation scalaire