Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

64 4. PERTURBATION ET AGRÉGATION
2. (i) ⇒ (ii). Faisons le produit scalaire de (i) avec p ∈ N (B ′ ),on
obtient :
(A µ v 0 , p) + (Bv 1 , p) + (c µ , p) = 0 ,
mais (Bv 1 , p) = (B ′ p,v 1 ) = 0 puisque p ∈ N (B ′ ).
3. Unicitéde(ii)
Supposons qu’il y ait deux solutions, notons w la différence, on
a, puisque N (B ′ ) = R(B) ⊥ :
(A µ w, p) = 0, w∈ N (B), ∀ p ∈ N (B ′ ).
On a donc :
A µ w ∈ R(B) ⇒ w ∈ A −1
µ R(B) ,
et donc :
∃z : w = A −1
µ
Bz, z ∉ N (B) .
Puisque
w ∈ N (B) = N (A −1
µ B),
il existe ∃z ≠ 0 tel que
A −1
µ Bw = (A−1 µ B)2 z = 0 .
Le nilpotent de A −1
µ B associé à la valeur propre 0 est donc non nul,
ce qui est en contradiction avec bornitude de v ɛ .
On peut donner, maintenant, l’interprétation, en terme de chaîne de Markov
agrégée, du premier terme du développement de v ɛ .
THÉORÈME 2.3. Si l’on désigne par :
• ( f 1 , f 2 , ..., f m ) les classes finales de la chaîne rapide,
• t l’ensemble des états transitoires de la chaîne rapide,
• A lk les probabilités de transition de la chaîne lente,
• p i les mesures invariantes extrêmales (MPIE) de la chaîne rapide,
• χ i
l
les probabilités de tomber dans la classe finale i partant de l’état
transitoire l de la chaîne rapide,
alors les q ij définis par :
q ij = ∑ l∈ f i
( ∑
k∈ f j
p i l A lk + ∑ k∈t
p i l A lkχ j
k
sont des probabilités de transition sur les classes finales de la chaîne rapide
( f 1 , f 2 , ..., f m ) et définissent donc une chaîne de Markov Z n appelée chaîne
agrégée dont les états sont donc ces classes finales.
Si l’on désigne par :
d i = ∑ l∈ f i
c l p i l
)