Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

2. MATRICES DANS L’ALGÈBRE MAX-PLUS 35
G(A ′ ) dont le nombre tend vers l’ ∞ avec k. Mais les poids de ces circuits
sont tous négatifs. Utilisant cette propriétédansl’équation (2.3), pour
k suffisamment grand, on obtient que x = A ∗ b.
PREUVE DE A ∗ = e ⊕ A ⊕···⊕ A n−1 . Tous les chemins de longueur
supérieure ou égale à n sont composés nécessairement d’un circuit et d’un
chemin de longueur strictement inférieure à n. Puisque les circuits ont des
poids négatifs, par hypothèse, on a
∀m ≥ n, A m ≤ e ⊕···⊕ A n−1 .
REMARQUE 2.13. Si le poids maximum des circuits est 0, une solution e-
xiste, mais il n’y a pas unicité. Par exemple, l’équation x = x ⊕ b admet la
solution x = e ∗ b = b mais tout x > b est aussi solution.
EXEMPLE 2.14. Considérons le système d’ordre 2
( ) ( )
−1 2 e
x =
x ⊕ .
−3 −1 2
Alors,
(
e
b =
2
) (
4
, Ab =
1
) (
3
, A 2 b =
1
)
,
(
3
A 3 b =
e
) (
2
, A 4 b =
e
)
··· .
Par conséquent,
( ) (
e 4
x = ⊕
2 1
) (
3
⊕
1
) (
3
⊕
e
) (
2
⊕
e
) (
4
⊕···=
2
)
,
est la solution unique.
On remarque de plus que A 2 b, A 3 b, ··· sont plus petits que b ⊕ Ab.
2.3.2. SOLUTION DE Ax = b. La seconde classe de systèmes linéaires
pour laquelle on dispose de résultats satisfaisants est Ax = b. Cependant,
on doit se placer dans R max plutôt que R max , et on doit affaiblir la notion de
solution. Une sous-solution de Ax = b est un x qui satisfait Ax ≤ b, où
l’ordre sur les vecteurs est défini par x ≤ y si x ⊕ y = y.
THÉORÈME 2.15. Etant donnée unen × n-matrice A et un n-vecteur b à
coefficients dans R max , la plus grande sous-solution de Ax = b existe. Elle
est donnée par :
−x j = max
i
(−b i + A ij ) .