Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

1. LE FILTRE DE KALMAN 89
3. LES VALEURS PROPRES DE A − ˜KC SONT DE MODULE < 1. En effet
supposons qu’il existe z tel que
De (1.7), il vient 2
(A − ˜KC) ′ z = λz, |λ| ≥1.
(1 −|λ| 2 )z ∗ z = z ∗ ˜KN ˜K ′ z + z ∗ BB ′ z .
Le premier membre est ≤ 0, les termes du second membre sont ≥ 0, N est
une matrice inversible. Donc nécessairement, ˜K ′ z = 0etB ′ z = 0.
Soit alors la matrice L telle que les valeurs propres de A− BL soient de
module strictement inférieur à 1 (qui existe grâce à l’accessibilité du couple
(A, B)), on obtient
(A − ˜KC) ′ z = A ′ z = λz ,
(A − BL) ′ z = A ′ z = λz ,
avec |λ| ≥1d’où une contradiction.
4. CONVERGENCE DANS LE CAS 0 = ρ I d . Pour 0 = ρ I d ,ρ >0, soit
k,l = (A − ˜K k−1 C)(A − ˜K k−2 C) ···(A − ˜K l C).
Il est facile de voir que
k+1 = k,0 0 k,0 ′ + k avec k ≥ 0.
Donc
k+1 ≥ ρ k,0 k,0 ′ .
Mais la suite des k étant bornée (point 1), il en est de même des k,0 .
On peut montrer (laissée en exercice) la relation
D’où
k+1 − = (A − ˜KC)( k − )(A − ˜K k C) ′ .
k+1 − = (A − ˜KC) k ( 0 − ) k,0 .
D’après le point 3, (A − ˜KC) k ↓ 0. D’après le point 4 si 0 = ρ I d k,0
reste borné. Donc dans ce cas on a encore, lim k = .
k
5. CONVERGENCE DANS LE CAS GÉNÉRAL. En utilisant (1.4) on montre que,
si k ( 0 ) désigne la variance d’erreur pour une condition initiale 0 , cette
variance d’erreur est une fonction croissante de 0 . Donc il existera toujours
ρ>0 tel que :
0 ≤ 0 ≤ ρ I d ⇒ k (0) ≤ k ( 0 ) ≤ k (ρ I d ).
La convergence de t ( 0 ) résulte donc, des points 2 et 5.
6. UNICITÉ. L’unicité de la solution positive de 1.5 provient du point 5. En
effet s’il y avait deux solutions 1 et 2 on pourrait prendre 0 = 1 et
= 2 alors k ( 0 ) = 1 tout k et comme dans cette section on a montré
que lim k k = on concluerait que 1 = 2 .
2 ∗ signifie transposée conjuguée