Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

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114 7. PROPRIÉTÉS DES RÉGULATEURS LQ PREUVE. P ′ (s) m∑ P(s) = R(s) + n i , s − s j=1 i où—R est sans pôles réels, — s i sont les racines réelles de P avec la multiplicité n i .Lerésultat en découle immédiatement. DÉFINITION 5.13 (Suite de Sturm). Une suite de Sturm dans l’intervalle (a, b) est une suite de polynômes réels P 1 (s),... ,P m (s) vérifiant 1. ∀x ∈ (a, b), ∀k > 0 P k (s) = 0 ⇒ P k−1 (s)P k (s)
5. RAPPEL SUR LA STABILITÉ 115 d’oùlerésultat. Etant donné un polynôme P(s) de degré n P(s) = a 0 s n + b 0 s n−1 + a 1 s n−2 + b 1 s n−3 +··· , on définit Q et R par P(iω) = Q(ω) + iR(ω) . On peut alors utiliser arg(P(iω)) = arctan R(ω)/Q(ω) pour montrer arg ∞ −∞ P(iω) = I −∞ ∞ T (ω) S(ω) , avec S(ω) = a 0 ω n − a 1 ω n−2 +··· , T (ω) = b 0 ω n−1 − b 1 ω n−3 +··· . Pour cela if faut discuter selon la paritéden. On en déduit alors, en utilisant la propostion 5.16, le résultat suivant. PROPOSITION 5.17. I−∞ ∞ T (ω) S(ω) = n − 2k . On peut énoncer le théorème de Routh. THÉORÈME 5.18 (Routh). Le nombre de variations de signe en ∞, noté V (∞) de la suite de Sturm P 1 = S, P 2 = T , P i+1 =−reste(P i−1 , P i ), est égal au nombre de racines de P dans le demi-plan droit, noté k V (∞) = k . PREUVE. On applique le théorèmedeSturmà la suite de Sturm P i dans l’intervalle (−∞, ∞). On a donc V (−∞) − V (∞) = n − 2k . Mais V (−∞) = n − V (∞) , car la suite des degré (P i ) est (n,... ,0) dans le cas régulier où aucun coefficient de tête ne s’annule. On définit le tableau de Routh construit sur P DÉFINITION 5.19 (Tableau de Routh). a 0 a 1 a 2 ... b 0 b 1 b 2 ... c 0 c 1 c 2 ... d 0 d 1 d 2 ... avec . . c i = a i+1 − b i+1 a 0 b 0 , d i = b i+1 − c i+1 b 0 c 0 . .
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6. COMMANDE EN INFORMATION INCOMPL
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INDEX 175 coûts, 41 entrée borné
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