Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

40 2. CHAÎNES DE BELLMAN
|e −x − e −y | ]alorsX est appelée variablededécision réelle [resp.
vectorielle, resp. à valeurs coûts]
3. Deux variables de décisions X et Y sont dites indépendantes quand
c X,Y (x, y) = c X (x) + c Y (y).
4. L’ optimum d’une variable de décision réelle est défini par
O(X) def
= arg min c X (x)
quand le minimum existe. Quand une variable de décision X satisfait
O(X) = 0, on dit qu’elle est centrée.
5. On a souvent besoin de l’analogue formel de la moyenne défini par :
M( f (X)) def
= inf
x ( f (x) + c X(x)) .
6. Quand l’optimum d’une variable de décision réelle X est unique et
qu’au voisinage de l’optimum on a
c X (x) = 1 p
x − O(X)
p ∣ σ ∣ + o(|x − O(X)| p ),
on définit la sensibilité d’ordre p de C par σ p (X) def
= σ . Quand une
variable de décision vérifie σ p (X) = 1, on dit qu’elle est d’ordre p
et normalisée.
7. Pour 1 ≤ p < ∞ les nombres
et
|X| p
def
= inf
x
{σ | c X (x) ≥ 1 p |(x − O(X))/σ|p }
‖X‖ p
def
=|X| p +|O(X)| ,
définissent respectivement une semi-norme et une norme sur l’ensemble
des variables de décision vérifiant ‖X‖ p < ∞. L’ensemble
des variables décision correspondant est appelé D p . L’espace D p est
un espace vectoriel au sens habituel et O est un opérateur linéaire sur
D p .
8. La densité d’une somme Z de deux variables de décision X et Y est
donnépar
c Z (z) =
inf c X(x) + c Y (y) ,
x,y,z=x+y
appelé inf-convolution de c X et de c Y , noté c X ⋆c Y . On a donc c X+Y =
c X ⋆ c Y .
,