Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

78 5. DÉCOMPOSITION
• Ecrire les équations d’équilibre dans le cas où : — la capacité de
chaque file est inférieure au nombre total de clients — on a la possibilitédedérivation
indiquée au paragaphe précédent.
La solution s’obtient par séparation des variables. On la cherche sous la
forme :
x 1
p x 1 x 2 x 3 = c ∏
e 1
∏x 2
e 2
∏x 3
e 3
u
y=1
1 y
u
y=1
2 y
u
y=1
3 y
En reportant dans (2.5) on obtient trois équations associées àdeséquilibres
locaux de flux de probabilité:
⎧
⎨
⎩
e 2 r 21 + e 3 r 31 = e 1 r 12 + e 1 r 13 ,
e 1 r 12 + e 3 r 32 = e 2 r 21 + e 2 r 23 ,
e 1 r 23 + e 2 r 23 = e 3 r 31 + e 3 r 32 .
.
(2.5)
L’équation (2.5.i) correspond àl’équilibre des flux de probablitésurlafilei.
L’équation (2.5) se réécrit matriciellement
er = e . (2.6)
Donc e doit être mesure invariante de la chaîne de Markov des routages
(I, r). Supposons que la matrice des routages vérifie la condition
d’équilibre local :
e i r ij = e j r ji . (2.7)
On dit dans ce cas que la chaîne de Markov correspondante est “réversible”.
Ce qui signifie que : la chaîne de Markov obtenue en remontant le temps de
matrice de transition r ′ = q −1
D rt q D —où q D désigne la mesure invariante r
mise sur la diagonale d’une matrice (on verifiera que cela définit bien une
matrice de transition) — est la même que celle du sens direct (r ′ = r).
Sous cette condition d’équilibre la chaîne de Markov de la file d’attente est
réversible et l’équation (6) se découpe cette fois en six équilibres locaux :
⎧
⎨
⎩
e 2 r 21 = e 1 r 21 ,
e 3 r 31 = e 1 r 13 ,
etc ...
On a alors le résultat plus fin :
p x ′
p x
= ∏
yy ′ ⊂C xx ′
(2.8)
¯M u yy ′ , (2.9)
où C xx ′ ={xy 1 , y 1 y 2 ,... ,y n x ′ } désigne un chemin quelconque de l’espace
d’état joignant x à x ′ ¯M u yy = Mu yy ′
′
On a par exemple :
¯M u yy ′ = u1 x 1 r 12
u 2 x 2 +1 r21
. (2.10)
My u ′ y