Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

90 6. LE RÉGULATEUR LQG
COROLLAIRE 1.7. Le filtre approché:
ˆx a k+1 = (A − ˜KC) ˆx a k + ˜Ky k , (1.8)
où ˜K est défini par (1.6), a comme variance d’erreur asymptotique var(x −
ˆx a ) la solution positive de (1.5).
PREUVE. En effet notons ˜x def
= x −ˆx a on a alors
˜x k+1 = (A − ˜KC) ˜x k + w k − ˜K v k ,
et puisque les valeurs propres de A− ˜KC sont plus petites que 1 ce système
linéaire gaussien est stable. Donc la loi de ˜x k converge vers une loi gaussienne
centrée de variance donnée par
= (A − ˜KC)(A − ˜KC) ′ + ˜KN ˜K ′ + M ,
c.a.d. (1.5).
2. LE PROBLÈME LQG
2.1. LA DYNAMIQUE DU SYSTÈME
Les systèmes dynamiques considérés ont pour état x k , observation y k et
commande u k . Ils sont donnés par les équations récurrentes stochastiques
suivantes :
{
xk+1 = Ax k + Bu k + w k , x 0 = ξ,
(2.1)
y k = Cx k + v k .
On suppose que :
1. x k (resp. y k ) (resp. u k )dedimensionn (resp. p) (resp. m),
2. les v.a. ξ, w k et v k sont indépendantes gaussiennnes,
3. ξ est de moyenne m 0 et de variance P 0 ,
4. w k (resp. v k ) sont centrées, de variance M (resp. N).
Les w (resp. les v) correspondent au bruit sur l’état (resp. l’observation).
On peut faire dépendre les matrices A, B, C, M, N du temps k si c’est
nécessaire.
2.2. LA STRUCTURE DES COMMANDES
A un instant k donné, on dispose des observations passées et présentes
(y i , i = 0, ··· , k). Il est naturel d’imposer au contrôle u k de n’être fonction
que de ces informations, donc d’être de la forme :
u k = s k (y 0 , ··· , y k ), k ≥ 0. (2.2)
Précisons un peu plus cette condition (2.2). Désignons par
1. (, A, P), un espace de probabilité sur lequel sont définies les v.a.
ξ, (w k ,v k ), k ≥ 0,
2. H = L 2 (, A, P) l’espace de Hilbert des v.a. de carréintégrable,
3. H m×T l’espace produit, des u = (u k , k = 0, ··· , T − 1) avec u k ∈
H m ,