Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

2. MAINTENANCE D’UNE AUTOMOBILE 123
(à expliciter) dans lequel le paramètre à optimiser est l’état de dégradation
au dessus duquel on va chez le garagiste.
5. Etudiez l’asymptotique µ → 0.
2.2. CORRIGÉ
2.2.1. ETUDE DE LA CHAÎNE DE MARKOV ASSOCIÉE À LA POLITIQUE
NAÏVE.
1. La matrice de transition de la chaîne de Markov représentant l’évolution
de l’automobile sans politique de maintenance est la matrice
(E + 1) × (E + 1) suivante :
⎛
⎜
⎝
1 − λ λ 0 · ·
0 1− λ λ 0 ·
· · · · ·
0 · 0 1− λ λ
0 · · 0 1
⎞
⎟
⎠ .
La matrice de transition de la chaîne de Markov représentant l’évolution
de l’automobile lorsque la politique de maintenance naïve est
utilisé est la matrice E × E :
⎛
M =
⎜
⎝
1 − λ λ 0 · ·
0 1− λ λ 0 ·
· · · · ·
0 · 0 1− λ λ
λ 0 · 0 1− λ
⎞
⎟ .
⎠
2. Notant P la matrice associée à la permutation
0 → 1 → 2 →···(E − 1) → 0,
c.a.d.
⎛
⎞
0 1 0 · ·
0 0 1 0 ·
P =
⎜ · · · · ·
⎟
⎝ 0 · · 0 1 ⎠ ,
1 0 · · 0
on a :
M = (1 − λ)I + λP,
où I désigne l’identité. En utilisant l’équation de Fokker-Planck on
on obtient :
p n = δM n
où:
δ = ( 1 0 ··· 0 ) .
En utilisant alors la commutatitivitédeI et P on obtient :
[ ]
n
p n x = ∑
C k n (1 − λ)n−k λ k P k .
k=0
0x