Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

4. ETUDE ANALYTIQUE DES MATRICES 17
THÉORÈME 4.3. Dans un voisinage de la valeur propre λ 0 de A, onale
développement
∑m−1
+∞∑
R λ =−(λ − λ 0 ) −1 P − (λ − λ 0 ) −n−1 N n + (λ − λ 0 ) n S n+1 , (4.2)
n=1
avec :
• P projecteur spectral sur l’espace propre V associéà la valeur propre
λ 0 , supposé dedimensionm ;
• N le nilpotent associé à la valeur propre λ 0 ;
• S vérifiant S(A − λ 0 ) = (A − λ 0 )S = I − P donc pseudo inverse de
A sur le supplémentaire de l’espace propre V .
PREUVE. On développe R λ en série de Laurent au voisinage de λ = λ 0 ,on
obtient :
R λ =
+∞∑
n=−∞
(λ − λ 0 ) n B n ,
où:
B n = 1 ∫
(λ − λ 0 ) −n−1 R λ dλ,
2πi Ɣ
et Ɣ est un cercle entourant la valeur propre λ 0 à l’exclusion de toutes les autres,
orienté dans le sens positif. En prenant Ɣ ′ un cercle entourant Ɣ ayant les mêmes
n=0
λ0
Γ
Γ’
FIGURE 3. Contour d’intégration
propriétés que Ɣ on obtient en utilisant l’égalitédesrésolvantes :
B n B m
∫
1
=
(λ − λ 0 )
(2πi)
∫Ɣ −n−1 (λ ′ − λ 0 ) −m−1 R λ R λ′ dλdλ ′
′ Ɣ
=
1
(2πi)
∫Ɣ ′ ∫
Ɣ
R λ′ − R λ
(λ − λ 0 ) n+1 (λ ′ − λ 0 ) m+1 (λ ′ − λ) dλdλ′ .