Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

3. DÉCISION OPTIMALE 39
Nous présentons les principaux résultats de cette théorie sans démonstration.
Dans beaucoup de cas l’adaptation de la démonstration faite en probabilité
se fait facilement.
3.1. ESPACE DE DÉCISION, VARIABLES DE DÉCISION
Commençons par définir les mesures de coût qui sont les analogues des
mesures de probabilité. L’idée est d’axiomatiser le fait que l’on peut associer
àunensemblededécisions un coût représentant l’infimum (le minimum
n’existant pas nécessairement) des coûts des décisions appartenant à
cet ensemble .
DÉFINITION 3.1. 1. On appelle espace de décision le triplet {U, U, C}
où U est un espace topologique, U est l’ensemble des ouverts de U
et C une application de U dans R + telle que
(a) C(U) = 0 ,
(b) C(∅) =+∞,
(c) C (⋃ n A n)
= infn C(A n ), ∀A n ∈ U .
2. L’application C est appelée mesure de coût.
3. Une application c de Udans R + telle que C(A) = inf u∈A c(u), pour
tout A dans U est appelée densité decoût de la mesure C.
4. On peut définir aussi le surcoût conditionel de prendre la décision
dans A sachant qu’elle doit nécessairement être prise dans B par
C(A|B) def
= C(A ∩ B) − C(B) .
THÉORÈME 3.2. Soit c une fonction à valeurs réelles dont l’infimum est 0,
l’expression C(A) = inf u∈A c(u) pour tout A ∈ U définit une mesure de
coût.
Inversement on peut montrer que toute mesure définie sur les ouverts
d’un ensemble polonais (métrisable, séparable et complet) admet une plus
petite extension C ∗ à P(U) (l’ensemble des parties de U). Cette extension
est définie de façon unique et admet toujours une densité c qui est s.c.i.
(semi continue inférieurement) et qui satisfait inf u c(u) = 0.
A cause de ce théorème dans la suite on ne s’intéressa qu’aux densités
de coût qu’on appelle simplement coût.
On peut construire également l’analogue des variables aléatoires que
l’on appelle variable de décision.
DÉFINITION 3.3. 1. Une variable de décision X sur {U, U, C} est u-
ne application de U dans E un espace topologique que l’on suppose
polonais. Elle induit une mesure de coût C X sur (E, O) 1 par
C X (A) = C ∗ (X −1 (A)), pour tout A dans O. Lamesuredecoût C X
admet une densité decoût notée c X .
2. Quand E = R [resp. R n ,resp.R min ] avec la topologie induite par
la valeur absolue [resp. la distance euclidienne, resp. d(x, y) =
1 O représente l’ensemble les ouverts de E.