Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

4. LE PROBLÈME LQG EN OBSERVATION INCOMPLÈTE 95
1. Montrer que V (x, k) vérifie l’équation de la programmation dynamique
V (x, k) = min
u∈R m{x ′ Qx + u ′ Ru + E[V (x k+1 , k + 1) | x k = x]} .
2. Montrer que V (x, k) est de la forme :
V (x, k) = x ′ P k x + s k
où P k est une matrice semi-définie positive et s k un scalaire et donner
les équations d’évolution de P k et s k .
3. Montrer que P k vérifie (3.9).
4. Observer la relation entre s k et la covariance des bruits Q.
EXERCICE 3.6. On suppose le système contraint par un retard de d unités
de temps sur l’observation, c’est-à-dire qu’à l’instant k ≥ d, onnedispose
que des observations (x 0 , x 1 ,... ,x k−d ). Montrer que la solution du
problème LQG correspondant est encore linéaire avec le même gain (3.8)
oùonaremplacé x k par la meilleure prédiction de x k à l’instant k − d, à
savoir ˆx k−d
k = E(x k | X k−d ).
4. LE PROBLÈME LQG EN OBSERVATION INCOMPLÈTE
Au problèmedecommande
⎧
x k+1 = Ax k + Bu k + w k , x 0 = ξ,
⎪⎨ y k = Cx
{ k + v k ,
}
∑ T −1
⎪⎩ min u∈Uad J (u) = E (x ′ k Qx k + u ′ k Ru k) + x ′ T Qx T ,
k=0
(4.1)
on associe le problèmedecommandedéterministe en observation complète
⎧
⎪⎨ x k+1 = Ax k + Bu k , x 0 = 0 ,
(C)
∑T −1
⎪⎩ min u∈Uad J (u) = (x ′ k Qx k + u ′ k Ru k) + x ′ T Qx (4.2)
T .
k=0
et le problème de filtrage
⎧
⎨ x k = Ax k−1 + w k−1 , x 0 = ξ,
(O) y k = Cx k + v k ,
⎩
E(x k | Y k ).
(4.3)
THÉORÈME 4.1. Le solution du problème LQG en observation incomplète
est donnée par le feedback linéaire
u k = K c k ˆx + k (4.4)
où K c est le gain optimal du problèmedecommandedéterministe C et ˆx + k
est donné
ˆx k = A ˆx + k−1 + Bu k−1 , (4.5)