Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

4. GESTION DE RÉSERVOIR 129
2. Considérons la matrice D ayant pour coefficient D xx ′ = 0six =
y − 1, y, y + 1 tout x ′ et q ailleurs. A partir de C et de D formons
la matrice C ′ dont les coefficients sont obtenus en faisant la somme
terme àtermedeséléments de C et de D. On remarque que la matrice
C ′ est tridiagonale au sens de l’algèbre min-plus. L’équation de la
programmation dynamique actualisée s’écrit alors simplement
v × (1 + α) = C ′ ⊗ (Mv) .
L’opérateur × signifie ici la multiplication habituelle au sens de
l’algèbre ordinaire.
On peut écrire cette équation de façon classique au prix de beaucoup
plus de lourdeur :
(1 + α)v x = min{a + µv x−2 + (1 − µ − ν)v x−1 + νv x , (3.1)
µv x−1 + (1 − µ − ν)v x + νv x+1 , (3.2)
b + µv x + (1 − µ − ν)v x+1 + νv x2 }+c x , (3.3)
pour tout x, 0≤ x ≤ N. où c x = 0six = y − 1, y, y + 1etq
ailleurs.
On peut résoudre cette équation par l’algorithme de Howard.
4. GESTION DE RÉSERVOIR
On considère la gestion d’un barrage destiné à produire de l’électricité.
On étudie d’abord l’évolution de l’état pour une commande ne dépendant
pas de l’état du barrage. Dans une deuxième partie on optimise la politique
de gestion du réservoir de façon à maximiser l’énergie produite. On se place
dans une situation simple où des calculs explicites peuvent être effectués.
On modélise l’évolution du stock d’eau dans le barrage par une chaîne
de Markov. Chaque état représente un niveau d’eau. On a E niveaux:
{0, 1, ··· , E − 1}. La probabilité depasserdel’état x àl’etatx + 1 pour
x = 0, 1, ··· , E − 2 est supposée être indépendante de x et égale à ρ. Elle
correspond à la probabilité d’un apport d’eau. Lorsque le stock est plein
(x = E − 1) un tel apport conduit àundébordement et l’état reste à E − 1.
La probabilité depasserdel’état x à x − 1vautu avec O ≤ u ≤ 1 − ρ
et sera considérée comme une commande à optimiser dans la deuxième
partie. Ce type de transitions correspond aux situations de turbinage du barrage.
Lorsque le barrage est vide on ne peut plus turbiner (u=0). La quantité
d’énergie produite à chaque période de temps vaut xu si le niveau d’eau
est x et le turbinage u. On veut maximiser l’énergie produite sachant que
lorsque le stock est plein on risque de déborder et lorsque ce stock est vide
on perd de l’énergie potentielle.
4.1. ENONCÉ
4.1.1. ETUDE DE LA CHAÎNE DE MARKOV POUR UNE STRATÉGIE
CONSTANTE. On suppose ici que la stratégie de gestion est constante en
temps et indépendante du niveau d’eau sx n = u, ∀x, n où n désigne le temps.