Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

56 3. COMMANDE OPTIMALE STOCHASTIQUE
6.1. FILTRAGE OPTIMAL
Nous recherchons le meilleur estimé deX n ,état d’une chaînedeMarkov
non commandé, connaissant le passé des observations Y 0 , Y 1 , ···, Y n .
Pour cela, on se donne une chaîne de Markov observée, c.a.d. le 5-uple :
(T , E, G, M y , p 0 ),
où
• T , E, G ont la même signification que précédemment;
• p 0 est une loi initiale sur E × G ;
• M y xx représente la probabilité detransiterdel’état x àl’état x ′ et
′
d’observer y.
La probabilité d’une trajectoire est alors donnée par :
P((x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), ··· ,(x n , y n )) = p 0y0
x 0
∏n−1
On calcule alors la loi conditionnelle :
q n x = P(Xn = x|Y 0 = y 0 , ··· , Y n = y n ).
i=0
M yi+1
x i x i+1 . (6.1)
THÉORÈME 6.1. La loi conditionnelle de l’état de la chaînedeMarkov
vaut :
∏ n
q n = p0y0 i=1 M yi
p ∏ 0y0 n
i=1 M yi 1 . (6.2)
PREUVE. On calcule la loi marginale de (y 0 , ··· , y n , x n ) :
[
] [
∑ ∏n−1
n∏
p 0y0 M yi+1
= p 0 M yi . (6.3)
x 0 x i x
]x i+1 n
x i
i=0,··· ,n−1
i=0
La loi q n est obtenue en normalisant la formule précédente de façon àen
faire une loi de probabilitéenx donc en la divisant par :
n∏
p 0 M yi 1 .
i= 1
i=1
REMARQUE 6.2. Le numérateur appelé équation du filtre non normalisé
satisfait l’équation récurrente linéaire :
r n+1 = r n M y n+1
,
r 0 = p 0 .
L’équation du filtre est alors donnée par :
q n =
rn
(r n , 1) .