Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

142 8. PROBLÈMES
5. Supposons que p = p 1 montrer que la probabilité conditionnelle
précédente tend vers 1 lorsque le nombre d’observations tend vers
l’infini.
7.1.2. MAINTENANCE. On veut assurer la maintenance d’un groupe
électrogène d’une centrale nucléaire servant à assurer l’existence d’une
source d’électricité en cas de panne de la centrale. En régime normal le
groupe ne fonctionne pas donc on ne sait s’il est en état de fonctionner ou
non. Pour le savoir on doit le tester. A chaque période de temps on doit donc
décider de le tester ou pas. On considère qu’il n’a que deux états possibles
soit il fonctionne soit il ne fonctionne pas. Si on le teste on observe l’état
mais cela coûte le prix du test (k 1 )pluslecoût de remplacement (k 2 )s’il
ne fonctionne pas (remplacement que l’on fait systématiquement en cas de
panne). A la suite du remplacement le système fonctionne nécessairement.
Si on ne le remplace pas le système à une probabilité p (0 < p < 1) d’ˆtre
en panne à la fin du test. On prend donc un risque que l’on voudrait éviter.
Pour cela on affecte un coût k 0 àl’état de panne. L’état peut donc prendre 2
valeurs: 1) fonctionne, 2) fonctionne pas. L’observation peut donc prendre
trois valeurs: 1) on n’a pas testé et donc rien observé2) on a testé et observé
que le système ne fonctionne pas, 3) on a testé et observé que le système
fonctionne. Au début de la gestion le système est en état de fonctionnement.
1. Donnez les 6 matrices de transitions (de sauter d’un état àunautre)
indéxées par l’observation faite et la commande utilisée.
2. La probabilité conditionnelle q n d’être dans un état sachant le passé
des observations et des commandes(où n indique la période de
temps) est une chaîne de Markov dont l’état vit sur l’espace des probabilités
chargeant les deux états possibles (q ∈ R 2 , q 1 + q 2 = 1,
q 1 , q 2 ≥ 0). A chaque étape elle saute dans cet ensemble selon la valeur
de l’observation. Caractérisez le point d’arrivée en fonction du
point de départ ainsi que la probabilité pour que ce saut ait lieu.
3. Exprimez le critère à optimiser en terme de cette espérance conditionnelle
lorsque l’on gère le système sur N périodes.
4. Donnez l’équation de la programmation dynamique permettant de
déterminer la décision optimale de tester ou non le matériel en fonctiondupassé
des observations et des commandes (ou ce qui revient
au même en fonction de la valeur de l’espérance conditionnelle de
l’état connaissant le passé des observations et des commandes).
5. Donnez les grandes lignes d’une méthode effective de calcul de cette
commande optimale.
7.2. CORRIGÉ
7.2.1. FILTRAGE.
1. Le problème de filtrage consiste à considérer la chaîne observé à4
états F = {(1, p 1 ), (2, p 1 ), (1, p 2 ), (2, p 2 )} les observations possibles
étant au nombre de 2. L’observation vaut 1 si la chaîne est