Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

9. CLOWN ÉQUILIBRISTE 159
1. Pour utiliser la méthode de Pontryaguine il faut mettre l’équation
z (4) = v sous forme d’un système du premier ordre
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
z 0 1 0 0 z 0
d
⎜ ż
⎟
dt ⎝ ¨z ⎠ = ⎜ 0 0 1 0
⎟ ⎜ ż
⎟
⎝ 0 0 0 1 ⎠ ⎝ ¨z ⎠ + ⎜ 0
⎟
⎝ 0 ⎠ v.
z (3) 0 0 0 0 z (3) 1
La condition nécessaire et suffisante d’optimalité, en notant
( p (3) , ¨p, ṗ, p) les variables duales, s’écrit :
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
z 0 1 0 0 z 0
d
⎜ ż
⎟
dt ⎝ ¨z ⎠ = ⎜ 0 0 1 0
⎟ ⎜ ż
⎟
⎝ 0 0 0 1 ⎠ ⎝ ¨z ⎠ + ⎜ 0
⎟
⎝ 0 ⎠ v,
z (3) 0 0 0 0 z (3) 1
z(0) = 1, z(1) =ż(0) =ż(1) =¨z(0) =¨z(1) = z (3) (0) = z (3) (1) = 0 ,
v =−p ,
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
p (3) 0 0 0 0 p (3)
d
⎜ ¨p
⎟
dt ⎝ ṗ ⎠ = ⎜ −1 0 0 0
⎟ ⎜ ¨p
⎟
⎝ 0 −1 0 0 ⎠ ⎝ ṗ ⎠ .
p 0 0 −1 0 p
2. Le système d’optimalité seréécrit donc z (8) = 0 avec les conditions
aux limites
z(0) = 1, z(1) =ż(0) =ż(1) =¨z(0) =¨z(1) = z (3) (0) = z (3) (1) = 0 .
z est donc un polynôme de degré 7. La commande calculée au paragraphe
précédent est donc optimale.
On remarque qu’en utilisant le calcul de variation on aurait obtenu
plus rapidement le résultat z (8) = 0.
9.2.4. STABILISATION OPTIMALE PAR LA PROGRAMMATION DYNA-
MIQUE. On minimise :
∫ ∞
J (v) = 1 [v 2 + γ z 2 ](s)ds .
2 0
sous la contrainte
z (4) = v.
par la méthode de la programmation dynamique.
1. Pour montrer la coercivité deJ (v) il suffit de montrer que J (v)
définit une norme équivalente à H0 4 (0, ∞; R) et donc il suffit de montrer
qu’il existe
∫ ∞
0
| ¨ f | 2 (t)dt ≤ kJ( f ),
∫ ∞
0
∫ ∞
0
| f (3) | 2 (t)dt ≤ kJ( f ).
| ˙ f | 2 (t)dt ≤ kJ( f ),