Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

9. CLOWN ÉQUILIBRISTE 151
On rappelle qu’une fonction de H 1 (0, T ; R) est continue que
f (t) = f (0) +
∫ t
0
˙ f (s)ds
et que les fonctions régulières sont denses dans H 1 (0, T ; R). On a de plus
les inégalités suivantes :
| f (t 2 ) − f (t 1 )|≤ √ |t 2 − t 1 |‖ f ‖ H 1 ,
| f | ∞ ≤
où |.| ∞ désigne la norme du sup.
1. Si l’on appelle
(√
T +
√
1/T
)
‖ f ‖ H 1 ,
H 1 0 (0, T ; R2 ) = { X = (x,ϑ) | X (0) = 0, X ∈ H 1 (0, T ; R 2 ) } ,
montrer que l’application X ∈ H0
1 ↦→ A s(X) ∈ R est α-convexe
pour T pas trop grand.
2. Montrer que cette action n’est plus α-convexe pour T = +∞ en
exhibant une suite de fonctions (X n ) vérifiant :
X n ∈ H 1 0 (0, ∞; R2 ), lim
n
‖X n ‖ H 1 =+∞ lim
n
Q(X n ) = 0 ,
où
Q(X) def
= 1 2
∫ ∞
0
[(ẋ + ˙ϑ) 2 + mẋ 2 + ϑ 2 ](s)ds .
3. En déduire que le problème du calcul de la moindre action admet une
solution unique pour T pas trop grand.
LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT. En minimisant les actions correspondantes
déduire :
1. les équations du mouvement simplifié:
(1 + m)ẍ + ¨ϑ =−u, ẍ + ¨ϑ − ϑ = 0 .
2. les équations du mouvement complet.
Dans la suite, on ne s’intéressera qu’au mouvement simplifié etlemot
“mouvement” signifiera toujours “mouvement simplifié”.
Dans les sections suivantes, on fait dépendre la variable de commande
u — la force de pédalage de Pédalvit — de x et de ϑ. Cette force ne
dérive plus d’un potentiel. Les équations du mouvement restent valables
—mécanique newtonienne — bien qu’elles ne puissent plus s’obtenir par
le principe de la moindre action.