Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

102 7. PROPRIÉTÉS DES RÉGULATEURS LQ
on peut séparer ces racines en n stables et n instables. On en déduit le
résultat.
COROLLAIRE 2.3. La limite des pôles du système bouclé optimal (lorsque
r tend vers 0) (contrôles bon marchés) sont les zéros stables du système
en boucle ouverte, et les symétrisés par rapport à l’axe imaginaire du plan
complexe des zéros instables du système en boucle ouverte, et les zéros
à l’infini stables (c.a.d. les asymptotes dans le demi-plan gauche du plan
complexe solution de la courbe
s 2(n−m) = (−1) n−m+1 n 2 0 /r
où nous avons noté m le degréden et n 0 son coefficient de plus haut degré),
et les symétrisés par rapport à l’axe imaginaire des zéros à l’infini instables.
PREUVE. Lorsque r tend vers 0 les pôles du système bouclé restantà
distance fini convergent vers les racines stables de n(s)n(−s).Maisledegré
de d est supérieur au degréden. La courbe
se comporte pour les s grand comme
d(s)d(−s) + r −1 n(s)n(−s) = 0 ,
(−1) n s 2n + r −1 (−1) −m n 2 0 s2m = 0 ,
ce qui donne 2(n − m) racines à l’infini qui sont solutions de
d’oùlerésultat.
(−1) n s 2(n−m) + (−1) −m n 2 0 /r = 0 ,
3. APPROCHE FRÉQUENTIELLE DU RÉGULATEUR LQ
Nous suivons ici [59] en changeant la démonstration du théorème. La
relation entrée sortie du système temps invariant
ẋ = Ax + Bu, x(0) = ξ, y = Cx ,
où x(t) ∈ R n , u(t) ∈ R m et y(t) ∈ R p dans le domaine fréquentiel 1 vérifie
la relation
Y = HU + , avec H = C(s − A) −1 B,= C(s − A) −1 ξ.
Le critère quadratique
J (u) =
∫ ∞
0
(y ′ Qy + u ′ Ru)dt ,
avec Q et R définies positives, (A, B, C) commandable et observable,
s’écrit dans le domaine fréquentiel pour des commandes u stabilisant le
1 Les transformées de Laplace bilatères de fonctions notées par des minuscules sont
notées par les majuscules correspondantes.