Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

126 8. PROBLÈMES
3. TRANSPORT
On considère un problème de gestion de voitures de location. On suppose
disposer de deux parkings dans lesquels les voitures peuvent être
louées et laissées aprés usage. Le contrôle s’exerce uniquement par des
transports de voitures d’un parking à l’autre. On étudie un système dans
une version extrêmement simplifiée. Certaines parties de l’analyse proposée
ci dessous s’étendent à des situations plus compliquées. Les problèmes de
transport, un peu réaliste, restent trés souvent des problèmes ouverts.
3.1. ENONCÉ
3.1.1. DÉPLACEMENTS ALÉATOIRES. On dispose au total de N voitures.
On considère dans cette première partie les évolutions aléatoires, dues aux
seuls usagers, des nombres de voitures de chacuns des parkings, appelés
A et B. Pour étudier ces déplacements on discrétise le temps. On suppose
que le pas de discrétisation en temps est tel qu’au plus une voiture puisse
être déplacée par un usager en une étape de temps. On appelle µ>0la
probabilité qu’une voiture ait le temps d’être déplacée de A vers B, en une
étape de temps, si le nombre de voitures de A n’est pas nul. La quantité µ
est supposée indépendante du nombre de voitures de A 1 . Si le nombre de
voitures de A est nul, la probabilitéd’undéplacement de A vers B est 0. De
même on introduit la probabilité ν>0d’undéplacement de B vers A. On
a µ + ν ≤ 1. On appelle X k le nombre de voitures dans A à l’instant k.
1. Donnez la matrice de transition (M)delachaîne de Markov X k .
2. Soit x le nombre de voitures dans A à l’instant 0, donnez l’équation
vérifiée par les probabilités de X k = y, 0≤ y ≤ N, k > 0, vues
comme une fonction de k et de y.
3. Montrez que X k admet une seule mesure invariante. Donnez
l’équation satisfaite par cette mesure invariante. Calculez explicitement
cette mesure invariante 2 .
3.1.2. TRANSPORTS. On suppose maintenant que les voitures ne puissent
plus être déplacées aléatoirement mais qu’elles soient seulement transportées
par les responsables de la gestion des parkings. A chaque étape de
temps on doit décider de transporter une voiture de A vers B (cela coûte a)
ou de B vers A (cela coûte b) ou de ne pas transporter (cela coûte 0). On
veut transporter les voitures au moindre coût. On appelle X k la population
de A à l’instant k.
1. Donnez la matrice des coûts transition (C) delachaîne de Bellman
X k .
2. Soit x le nombre de voitures dans A à l’instant 0, donnez l’équation
vérifiée par les coûts minimaux de transport pour que X k = y, 0≤
y ≤ N, k > 0, vus comme une fonction de k et de y.
1 On sait traiter le cas où µ et dépend du nombre de voitures de A.
2 Le même problème est résoluble également pour n parkings.